Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja F → x , y , z = sin ⁡ x 2 i → + e y 2 + x j → + ln ⁡ 1 + z 2 k → , ∀ x , y , z ∈ R 3 .

Considere as seguintes afirmações:

  1. ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada C 1 por partes γ : a , b → R 3 .
  2. O fluxo do rotacional de F → sobre uma superfície orientada S é nulo.
  3. Existem pontos de R 3 onde o divergente de F → se anula.
  4. O fluxo de F → através da superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , com z ≥ 0 , orientada pela normal n → satisfazendo n → ⋅ k → > 0 , é nulo.

Escolha uma:

  1. Todas as afirmações são corretas.
  2. Apenas 3 afirmações são corretas.
  3. Apenas 2 afirmações são corretas.
  4. Apenas 1 afirmação é correta.
  5. Nenhuma afirmação é correta.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

A nossa primeira informação nos diz que, para toca curva fechada C 1 por partes γ : a , b → R 3 , temos:

∫ γ F → ⋅ d r → = 0

Bom, a afirmação acima será verdade se, e somente se, o campo vetorial F → for um campo conservativo. Então, o que temos que verificar para esta afirmação é se o campo vetorial é conservativo ou não.

O método que escolhemos fica de acordo com vocês. Agora, vamos facilitar nossa vida e tentar fazer o link desta afirmação com a afirmação II, em que precisamos determinar o rotacional do nosso campo vetorial.

Existe um teorema que afirma que, se o rotacional de um campo for igual ao vetor nulo, então o campo é conservativo. Caso contrário, o campo não será conservativo. Portanto, vamos ao cálculo do rotacional.

R o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z sin ⁡ x 2 e y 2 + x ln ⁡ 1 + z 2

R o t   F → = ∇ × F → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + 1 - 0 k →

R o t   F → = ∇ × F → = 0,0 , 1

Então, como o rotacional é diferente do vetor nulo, nosso campo não é conservativo, e consequentemente, a nossa integral não será igual a zero para qualquer curva fechada!

Logo, a afirmação é falsa!

Passo 2

Agora vamos resolver a afirmação II. Ela afirma que o fluxo do rotacional de F → sobre uma superfície orientada S é nulo.

O fluxo do rotacional nulo corresponde a seguinte integral:

∬ S R o t F → ⋅ N → d S = 0

Percebam que a questão não fala quem é a superfície S . Portanto, precisamos considerar ela como qualquer superfície parametrizável.

Ao fazermos esta consideração, a única forma da integral acima ser igual a zero, para qualquer superfície S , foca bastante nessa parte (qualquer superfície!!!), é se, e somente se, o rotacional for igual ao vetor nulo.

Como calculamos o rotacional no Passo 1, checamos que ele é diferente do vetor nulo. Sendo assim, como a gente calculou o rotacional e verificamos que ele não é igual ao vetor nulo para todo o R 3 , podemos afirmar então, que a afirmação II é falsa!

Passo 3

Vamos resolver a afirmação III agora. Ela afirma que existe ponto de R 3 onde o divergente de F → se anula. Então, para checarmos se ela é verdadeira ou falsa, precisamos calcular o divergente do nosso campo.

Sendo assim, vamos para as contas! Para

F → x , y , z = sin ⁡ x 2 i → + e y 2 + x j → + ln ⁡ 1 + z 2 k → = sin ⁡ x 2 , e y 2 + x , ln ⁡ 1 + z 2

Temos,

d i v   F → = ∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ sin ⁡ x 2 , e y 2 + x , ln ⁡ 1 + z 2

d i v   F → = ∂ ∂ x sin ⁡ x 2 + ∂ ∂ y e y 2 + x + ∂ ∂ z ln ⁡ 1 + z 2

d i v   F → = 2 x cos ⁡ x 2 + 2 y e y 2 + 2 z 1 + z 2

Agora devemos nos questionar o seguinte: será se existe algum ponto x , y , z que consiga zerar o divergente acima?

E a resposta para este questionamento é: existe sim! O ponto 0,0 , 0 . Vejamos só o que acontece quando substituímos as suas coordenadas no divergente:

d i v   F → = 2 ⋅ 0 ⋅ cos ⁡ 0 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ e 0 2 + 2 ⋅ 0 1 + 0 2

d i v   F → = 0 + 0 + 0 = 0

Então, a nossa afirmação é verdadeira!

Passo 4

Por fim, precisamos determinar o fluxo do campo vetorial F → através da superfície S x 2 + y 2 + z 2 = 1 , com z ≥ 0 , orientada pela normal n → satisfazendo n → ⋅ k → > 0 , é nulo.

Portanto, precisamos determinar a seguinte integral:

∬ S F → ⋅ n → d S

Poderíamos tentar parametrizar a superfície S e resolver a integral acima, mas as contas se tornam muito complicadas neste caso. A forma mais simples é utilizarmos o teorema da divergência e analisarmos as integrais que temos de resolver.

O teorema da divergência nos diz que:

∬ S F → ⋅ n → d S = ∭ E d i v   F → d V

Sendo E o sólido delimitado pela nossa superfície S . Este sólido E consiste em uma região do tipo I, pois a projeção do sólido no plano x y consiste na circunferência de raio 1 e centrada na origem (basta fazer z = 0 ).

Sendo assim, os nossos limites de integração são:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2 0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

Como já calculamos o divergente no Passo 3, temos:

∭ E d i v   F → d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 2 x cos ⁡ x 2 + 2 y e y 2 + 2 z 1 + z 2 d z d y d x

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 2 x cos ⁡ x 2 z + 2 y e y 2 z + ln ⁡ ( 1 + z 2 ) 0 1 - x 2 - y 2 d y d x

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 2 x cos ⁡ x 2 1 - x 2 - y 2 + 2 y e y 2 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ( 2 - x 2 - y 2 ) d y d x

Passo 5

Vamos analisar a resolução da integral acima separadamente agora, com bastante cuidado.

O interessante é que não precisaremos resolver todas as integrais para perceber que ela é diferente de zero. Vamos conseguir eliminar uma boa parte do nosso trabalho apenas analisando se a função é ímpar.

Sendo assim, vamos começar analisando a integral abaixo:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 2 y e y 2 1 - x 2 - y 2 d y d x

Percebam que a função acima, em relação a y , é uma função ímpar, isto é, f y = - f - y . Funções ímpares integradas em intervalo simétrico são exatamente iguais a zero. Com isto, já eliminamos a primeira integral.

Agora, vamos analisar outra integral

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 2 x cos ⁡ x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x

Fica difícil analisar ela em torno da variável y , visto que, neste caso, seria uma função par. Agora, se a gente muda a ordem de integração, o jogo muda. Vejamos só se a gente começa integrando por x .

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 2 x cos ⁡ x 2 1 - x 2 - y 2 d x d y

Se integrarmos primeiro em relação a x , vamos observar que a função também é ímpar! Como o intervalo é simétrico, a integral acima também será igual a zero! Portanto, daquela integral bem grande, só nos resta:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ln ⁡ ( 2 - x 2 - y 2 ) d y d x

E que aparenta ser bem difícil de calcular. Mas calma. Vamos fazer uma mudança de coordenadas. Que tal escrevermos com coordenadas polares: se fizermos isto, nosso limite de integração (região circular de raio 1) será 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 1 . E com isto, teremos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ln ⁡ ( 2 - r 2 ) r d r d θ

OBS: percebam que se vocês esquecem do r d r d θ , vocês não vão conseguir resolver a integral acima!

Agora o jogo é fácil. Para ficar mais intuitivo, vamos chamar u = 2 - r 2 , então d u = - 2 r d r . Quando r = 0 , temos u = 2 . Já quando r = 1 , temos u = 1 . Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r ln ⁡ ( 2 - r 2 ) d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 2 1 - ln ⁡ u 2 d u d θ

∫ 0 2 π - x ln ⁡ x - x 2 2 1 d θ = ∫ 0 2 π - 1 ln ⁡ 1 - 1 2 - 2 ln ⁡ 2 - 2 2 d θ

∫ 0 2 π ln ⁡ 2 - 1 2 d θ = ln ⁡ 2 - 1 2 ⋅ θ 0 2 π

2 π ln ⁡ 2 - 1 2

E consequentemente, é um valor diferente de zero! Assim, concluímos que a afirmativa IV é falsa!

Portanto, a questão possui apenas 1 afirmação correta, e a resposta é a letra d.

Resposta

Apenas 1 afirmação é correta (letra d).

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