Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Dentre todos os sólidos retangulares definidos pelas desigualdades 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ 1 , encontre aquela para o qual o fluxo exterior total de F = - x 2 - 4 x y i - 6 y z j + 12 z k através dos seis lados seja maior. Qual é o maior fluxo?

Passo 1

Para entender melhor nosso problema vamos somente rascunhar qual deve ser a imagem da superfície:

Então temos uma superfície retangular, a qual não sabemos parametizar, esse é um sinal de que seria bom usar o Teorema de Gauss!

Então vamos ver se é uma boa ideia!

Passo 2

O Teorema de Gauss nos diz que

∬ ∂ W   F → ⋅ n →   d s = ∭ w   d i v F →   d V

A integral, ∬ ∂ W   F → . n →   d s representa diretamente o fluxo sobre a superfície! E para calcular, o primeiro passso é saber qual o divergente do campo vetorial:

∇ ⋅ F =   ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ ⋅ F = - 2 x - 4 y + - 6 z + 12 = 12 - 2 x - 4 y - 6 z

Passo 3

Agora vamos calcular a integral tripla com os intervalos:

0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ 1

∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 1 12 - 2 x - 4 y - 6 z d z d y d x

∫ 0 a ∫ 0 b - 2 x - 4 y + 12 - 6 z 2 2 0 1 d y d x

∫ 0 a ∫ 0 b - 2 x - 4 y + 9 d y d x

∫ 0 a - 2 x y - 4 y 2 2 + 9 y 0 b d x

∫ 0 a - 2 x b - 2 b 2 + 9 b d x = - 2 b x 2 2 - 2 b 2 x + 9 b x 0 a =   - b a 2 - 2 b 2 a + 9 a b

Assim, o fluxo é dado por:

f a , b = a b ( - a - 2 b + 9 )

Passo 4

Para maximizar devemos ter

∂ f ∂ a = 0   e ∂ f ∂ b = 0

Assim,

∂ f ∂ a = - 2 a b - 2 b 2 + 9 b = 0

( - 2 a - 2 b + 9 ) b = 0

b = 0     o u   - 2 a - 2 b + 9 = 0

∂ f ∂ b =   - a 2 - 4 a b + 9 a = 0

- a - 4 b + 9 a = 0

a = 0   o u   - a - 4 b + 9 = 0  

Como o fluxo é

f a , b = a b ( - a - 2 b + 9 )

Se a = 0 ou   b = 0 , o fluxo também é zero.

Passo 5

Assim, devemos resolver o sistema:

( - 2 a - 2 b + 9 ) = 0 - a - 4 b + 9 = 0

Da segunda equação a = 9 - 4 b , substituindo na primeira:

2 9 - 4 b = 9 - 2 b

6 b = 9

b = 3 2

Logo,

a = 9 - 4 b = 3  

Resposta

O máximo fluxo é dado por:

f a , b = a b - a - 2 b + 9

f m a x = 27 2

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