( c ) Calcule ∫ ∫ S F → ⋅ N → d v sendo F → ( x , y , z ) = x   i → + y   j → + z   k → ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 e S a parte do cilindro x 2 + y 2 = 2 entre os planos z = - 2 e z = 2 com normal N → tal que N → ( 2 , 0,0 ) = ( - 1,0 , 0 ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos que calcular a seguinte integral de superfície

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

em que o campo vetorial considerado é dado por

F → ( x , y , z ) = x   i → + y   j → + z   k → ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2

Existe uma identificação bastante direta, através do teorema da divergência de Gauss que pode ser útil, temos que

∫ ∫ S ' F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ ∫ W d i v ( F → ) ⋅ d V

mas note que no lado esquerdo temos uma superfície S ' que é fronteira do sólido W . Para sabermos qual identificação vale a pena trabalhar, precisamos verificar a nossa superfície! Saca só!

Passo 2

A nossas região pode ser visualizada como

A nossa superfície é a lateral de um sólido W , que tem como base e tampa dois planos. Então, podemos considerar o teorema da divergência de Gauss, usando um S ' da forma

S ' = S + S b a s e + S t a m p a

que é fronteira de W , e portanto, a nossa integral pode ser identificada como

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ + ∫ ∫ S b a s e F → ⋅ N → b a s e d σ b a s e + ∫ ∫ S t a m p a F → ⋅ N → t a m p a d σ t a m p a = ∫ ∫ ∫ W d i v ( F → ) ⋅ d V

A integral que nós queremos é apenas uma parte do lado esquerdo do teorema de Gauss, portanto, vamos ter que calcular as outras três componentes. No entanto, isso é um pouco mais fácil do que expandir a integral de superfície normalmente! Saca só!

Passo 3

Vamos começar calculando o lado direito, temos que a divergência do campo é tal que

d i v ( F → ) = ∂ ∂ x [ F x ] + ∂ ∂ y [ F y ] + ∂ ∂ z [ F z ]

em que F → ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z ) . Substituindo então o campo dado no enunciado, temos que

d i v ( F → ) = ∂ ∂ x [ x   ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] + ∂ ∂ y [ y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] + ∂ ∂ z [ z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ]

Aplicando a regra do quociente junto com a regra da cadeia, e lembrando que em derivadas parciais toda variável que não é derivada é tomada como constante, obtemos que

d i v ( F → ) = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 x 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 + ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 y 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 + ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 z 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

evidenciando o denominador, e o termo - 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 , temos que

d i v ( F → ) = 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 - 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

Portanto, temos que

d i v ( F → ) = 0

de forma que

∫ ∫ ∫ W d i v ( F → ) d V = 0

Desta maneira tudo que precisamos fazer é resolver as integrais de superfície restantes! Bora lá!

Passo 4

O nosso problema está resumido em

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ + ∫ ∫ S b a s e F → ⋅ N → b a s e d σ b a s e + ∫ ∫ S t a m p a F → ⋅ N → t a m p a d σ t a m p a = 0

Vamos analisar as duas integrais em conjunto, primeiro, discutindo quem são os vetores normais! Pela nossa figura, e levando em consideração que a normal considerada para a nossa superfície é tal que estamos considerando as normais internas, temos que a tampa tem um vetor normal dado por

N → t a m p a = ( 0,0 , - 1 )

e, a base, analogamente, tem vetor normal

N → b a s e = ( 0,0 , 1 )

Usando o formato de nosso campo vetorial, e resolvendo os produtos escalares nas integrais de superfície, temos que

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ + ∫ ∫ S b a s e [ z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] d σ b a s e - ∫ ∫ S t a m p a [ z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] d σ t a m p a = 0

como temos que a base está em z = - 2 e a tampa em z = 2 , isso se resume à

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ - 2 ∫ ∫ S b a s e [ 1 ( x 2 + y 2 + 2 ) 3 / 2 ] d σ b a s e - 2 ∫ ∫ S t a m p a [ 1 ( x 2 + y 2 + 2 ) 3 / 2 ] d σ t a m p a = 0

Vamos tentar obter uma região que descreva a nossa superfície! Vem comigo!

Passo 5

Se usarmos coordenadas polares temos que x = r   c o s ( ϕ ) e y = r   s e n ( ϕ ) , e d σ t a m p a = r   d r   d ϕ , obtemos então que

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ - 2 ∫ ϕ 0 ( r ) ϕ f ( r ) ∫ r 0 ( ϕ ) r f ( ϕ ) [ 1 ( r 2 + 2 ) 3 / 2 ] r   d r   d ϕ - 2 ∫ ϕ 0 ( r ) ϕ f ( r ) ∫ r 0 ( ϕ ) r f ( ϕ ) [ 1 ( r 2 + 2 ) 3 / 2 ] r   d r   d ϕ = 0

temos que a superfície é delimitada pela circunferência.

x 2 + y 2 = 2

Portanto, temos que

r f ( ϕ ) = 2

para ambas as integrais, também para ambas usando que r 0 ( ϕ ) = 0 . E, que a revolução é completa, temos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ - 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 [ 1 ( r 2 + 2 ) 3 / 2 ] r   d r   d ϕ - 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 [ 1 ( r 2 + 2 ) 3 / 2 ] r   d r   d ϕ = 0

Podemos juntar ambas as integrais para obter que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ - 2 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 [ 1 ( r 2 + 2 ) 3 / 2 ] r   d r   d ϕ = 0

Maravilha! Vamos cuidar de resolver essa integral que falta agora! Bora lá!

Passo 6

Temos que resolver a seguinte integração

∫ 0 2 π ∫ 0 2 [ 1 ( r 2 + 2 ) 3 / 2 ] r   d r   d ϕ

É conveniente fazer a substituição simples

u = r 2 + 2 e d u   = 2 r   d r

de forma que a integral se torna

∫ 0 2 r ( r 2 + 2 ) 3 / 2 d r = 1 2 ∫ u ( 0 ) u ( 2 ) u - 3 / 2   d u

como temos que u ( 0 ) = 2 e u ( 2 ) = 4 , a nossa integral pode ser obtida como

1 2 ∫ 2 4 u - 3 / 2 d u = 1 2 1 - 3 / 2 + 1 [ u - 3 / 2 + 1 ] | 2 4 = - [ u - 1 / 2 ] | 2 4

Avaliando os limites, temos que

∫ 0 2 r ( r 2 + 2 ) 3 / 2 d r = 1 2 - 1 2 = 2 - 1 2

Vamos voltar estes resultados para o nosso problema! Saca só!

Passo 7

Usando os resultados que obtivemos no passo anterior, temos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ - 2 2 [ 2 - 1 2 ] ∫ 0 2 π d ϕ = 0

como temos que

∫ 0 2 π   d ϕ = ϕ | 0 2 π = 2 π

Obtemos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ - 4 2 [ 2 - 1 2 ] π = 0

simplificando essa expressão obtemos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 4 π - 2 2 π

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 4 π - 2 2 π

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Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
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