Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Sejam F → um campo de vetores de classe C 2 em R 3 e S o elipsoide x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = ρ 2 , orientado por normal externa N → .

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se ρ > 0 , então ∬ S r o t → F → ⋅ N → d S = 0 .
  2. Se F → é um campo gradiente, então ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 .
  3. Se o rotacional r o t → F → é identicamente nulo, então ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 .

Assinale a alternativa verdadeira.

Escolha uma:

  1. Apenas a afirmação III é correta.
  2. Apenas as afirmações II e III são corretas.
  3. Apenas a afirmação I é correta.
  4. Apenas a afirmação II é correta.
  5. Apenas as afirmações I e II são corretas.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

A nossa primeira afirmação nos diz que, se ρ > 0 , então ∬ S r o t → F → ⋅ N → d S = 0 .

Bom, para resolvermos esta questão, vamos precisar utilizar o Teorema da Divergência. Seja E uma região sólida simples formada pelo elipsoide (por isso que ele garante que ρ > 0 ), com superfície orientada positivamente (vetor normal para fora), temos:

∬ S r o t → F → ⋅ N → d S = ∭ E d i v r o t → F → d V

Só que, como o campo vetorial F → é de classe C 2 , e possui derivadas parciais continuas de segunda ordem contínuas, existe um Teorema que garante que:

d i v r o t → F → = 0

Portanto, se substituirmos isso na nossa integral tripla, temos:

∬ S r o t → F → ⋅ N → d S = ∭ E 0 d V = 0

E assim provamos a afirmação I!

Passo 2

Vamos resolver a afirmação II agora. Ele nos diz que, se F → é um campo gradiente, então ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 .

Vamos começar interpretando o que a questão nos afirma sobre o campo vetorial F → . Bom, dizer que F → é um campo gradiente, significa dizer que existe um campo escalar f tal que F → = ∇ f .

Portanto, podemos dizer que existe uma função potencial f para F → . Automaticamente, podemos afirmar que o campo vetorial F → é um campo conservativo!

Visto tudo isto, será se podemos afirmar que:

∬ S F → ⋅ N → d S = 0

Será??? Bom, a verdade é que não podemos garantir nada disto. Para que possamos garantir sem conhecer mais informações sobre o campo F → , precisaríamos garantir o campo era identicamente nulo em toda superfície, o que não é verdade.

Portanto, não podemos garantir a afirmação II, e por causa disto ela é falsa!

Passo 3

Por fim, temos a afirmação III, que nos diz que, se o rotacional r o t → F → é identicamente nulo, então ∬ S F → ⋅ N → d S = 0 .

Bom, esta terceira afirmação é um conjunto do que dissemos na afirmação I e II. Se o rotacional é identicamente nulo, sabemos que o campo é conservativo.

Só que esta informação não garante nada que para que possamos afirmar que o fluxo do campo F → em relação à superfície do elipsoide é igual a zero. Portanto, esta afirmação também é falsa!

Portanto, a questão possui apenas 1 afirmação correta, e a resposta é a letra (c).

Resposta

Apenas 1 afirmação é correta (letra c).

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