Seja v → = r → | r | 3 , onde r → = x i → + y j → + z k → . Calcule ∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ , onde N → é a normal unitária exterior a S nos seguintes casos:

( c ) S é uma superfície fechada lisa por partes que contém a origem em seu interior.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ

em que o campo vetorial é dado por

v → = r → | r | 3

onde r → = x i → + y j → + z k → . E, a nossa superfície obedece às seguintes condições

( c ) S é uma superfície fechada lisa por partes que contém a origem em seu interior.

Parece complicado, mas essa é uma questão conceitual! O segredo está no fato de que o nosso campo vetorial tem uma simetria esférica partindo da origem e a superfície contém a origem! Vem comigo!

Passo 2

Vamos fazer um breve esquema aqui do que seria a nossa situação

O fluxo do campo vetorial através de uma superfície está relacionado a quantidade que entra (ou sai) pela superfície. Se a superfície é fechada, e o campo vetorial é interno a sua superfície, necessariamente todas as setas estão saindo, portanto, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ ≠ 0

Ainda mais, note que independentemente do formato da superfície, a quantidade de setinhas que atravessam é a mesma, portanto, para toda superfície o resultado será o mesmo (sob as condições do enunciado). Isso nos permite usar qualquer superfície para calcular o fluxo acima, nesta mesma questão fizemos para o caso da esfera! Que é uma superfície lisa fechada que contém a origem, e obtemos o resultado

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = 4 π

Isso é um dos “poderes” do teorema de Gauss! E vai ser extremamente útil quando estiver calculando campos elétricos em Eletromagnetismo! A questão foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = 4 π

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Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
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