Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja F → : Ω → R 3 o campo de vetores dado por

F → x , y , z = 1 x 2 + y 2 3 2 x i → + y j → + z 2 + x 2 k → , ∀ x , y , z ∈ Ω = R 3 \ e i x o   z .

Considere as seguintes afirmações:

  1. O divergente de F → não é identicamente nulo em Ω .
  2. ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , para toda curva fechada, simples e C 1 por partes γ : a , b → Ω , cuja imagem está contida no plano z = 3 .
  3. O fluxo do rotacional de F → é nulo para toda superfície fechada S ⊂ Ω .
  4. Existe uma curva fechada, simples e C 1 por partes γ : a , b → Ω tal que ∫ γ F → ⋅ d r → ≠ 0 .

Escolha uma:

  1. Nenhuma afirmação é correta.
  2. Apenas 1 afirmação é correta.
  3. Todas as afirmações são corretas.
  4. Apenas 3 afirmações são corretas.
  5. Apenas 2 afirmações são corretas.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

Essa primeira informação trás tanta informação diz que o divergente de F → não é identicamente nulo em Ω . Isso significa dizer que existe algum ponto de Ω em que o divergente é diferente de zero.

E agora? O que devemos fazer para confirmar a afirmação? Simples. Temos que calcular o divergente propriamente dito. Sendo assim, temos:

d i v   F → = ∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ x x 2 + y 2 3 2 , y x 2 + y 2 3 2 , z 2 + x 2

d i v   F → = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 3 2 + ∂ ∂ y y x 2 + y 2 3 2 + ∂ ∂ z z 2 + x 2

d i v   F → = x 2 + y 2 3 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 1 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 3 + x 2 + y 2 3 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 1 2 ⋅ 2 y x 2 + y 2 3 + 2 z

d i v   F → = x 2 + y 2 1 2   x 2 + y 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 3 + x 2 + y 2 1 2   x 2 + y 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 3 + 2 z

d i v   F → = - 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 5 2 + x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 5 2 + 2 z

d i v   F → = - x 2 - y 2 x 2 + y 2 5 2 + 2 z

d i v   F → = - 1 x 2 + y 2 3 2 + 2 z

Como o divergente acima não é igual a zero para todos os pontos de Ω (basta verificar com o ponto 1,0 , 0 , por exemplo), a afirmação I é verdadeira!

Passo 2

Agora vamos para a afirmação II agora. Para isto, temos que verificar se ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , para toda curva fechada, simples e C 1 por partes γ : a , b → Ω , cuja imagem está contida no plano z = 3 .

Para verificarmos esta relação, vamos ter de utilizar o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S R o t F → ⋅ N → d S

Antes de começarmos a analisar em si a afirmação acima, vamos calcular o rotacional de F → , visto que a gente precisa dele! Portanto,

R o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x x 2 + y 2 3 2 y x 2 + y 2 3 2 z 2 + x 2

R o t   F → = ∇ × F → = 0 - 0 i → + 0 - 2 x j → + - 3 y x x 2 + y 2 5 2 + 3 y x x 2 + y 2 5 2 k →

R o t   F → = ∇ × F → = 0 , - 2 x , 0

Pronto, agora que a gente identificou o rotacional, vamos identificar o vetor normal da superfície z = 3 , a qual contém a curva fechada γ .

Como a nossa superfície é o plano z = 3 , então, o seu vetor normal é: N → = 0,0 , 1 (as coordenadas são os coeficientes que multiplicam x , y e z na equação do plano).

Se substituirmos este valor na nossa integral de superfície e calcularmos o produto interno (não se preocupem com os limites de integração, vejam a magia acontecer), teremos:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S 0 , - 2 x , 0 ⋅ 0,0 , 1 d S

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S 0 d S = 0

E assim verificamos que a integral de linha é igual a zero para todas as curvas γ ! Logo, a afirmação II é verdadeira!

Passo 3

Agora vamos resolver a afirmação III. Ela nos diz que o fluxo do rotacional de F → é nulo para toda superfície fechada S ⊂ Ω .

Primeiro, vamos começar escrevendo a integral que corresponde a esse fluxo. Ela é:

∬ S R o t F → ⋅ N → d S = 0

O bom é que já calculamos o rotacional no Passo II. Agora, só nos resta trabalharmos coma superfície e com a integral acima.

Uma superfície fechada S ⊂ Ω consiste na fronteira de um sólido E . Se deixarmos a orientação desta superfície (vocês perceberam que ela não irá influenciar no nosso resultado), e utilizarmos o Teorema da divergência, pois R o t   F → possui derivadas parciais contínuas, temos:

∬ S R o t F → ⋅ N → d S = ∭ E d i v   R o t F → d V

Ao calcularmos o divergente do rotacional, teremos:

d i v   F → = ∇ ⋅ R o t F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ 0 , - 2 x , 0 = 0

Portanto, o fluxo do rotacional será:

∬ S R o t F → ⋅ N → d S = ∭ E 0 d V = 0

E assim temos que o fluxo do rotacional é nulo para toda superfície S , comprovando a primeira afirmação!

Passo 4

Para finalizarmos, vamos para a afirmação IV. Ela diz que existe uma curva fechada, simples tal que ∫ γ F → ⋅ d r → ≠ 0 .

Para verificarmos esta relação, vamos ter de utilizar novamente o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S R o t F → ⋅ N → d S

Que, de uma certa forma, já calculamos nos Passos anteriores (pelo menos o rotacional). Então, temos:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S 0 , - 2 x , 0 ⋅ N → d S

Como o rotacional é diferente do vetor nulo, teremos alguma curva contida em uma superfície S com vetor normal N → que faça o produto interno acima ser diferente de zero. E com isto, finalizamos a nossa questão provando a afirmação IV!

Logo, todas as afirmações são corretas (letra c).

Resposta

Todas as afirmações são corretas (letra c).

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