Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja F → o seguinte campo de vetores

F → x , y , z = x i → + z j → + y k → , ∀ x , y , z ∈ R 3 .

Considere as seguintes afirmações:

  1. ∫ γ F → ⋅ d r → = 2 , em que γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t , t ∈ 0 , π .
  2. ∭ B d i v   F → d x d y d z = 4 π 3 , em que B = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , y ≥ 0 .
  3. ∬ S R o t F → ⋅ n → d S = 0 , em que S = x 2 + y 2 + z 2 = 2 , z ≥ 0 , e n → é a normal a S satisfazendo n → ⋅ k → < 0 .
  4. ∬ S F → ⋅ n → d S = 0 , em que S = x 2 + y 2 + z 2 = 3 , x ≤ 0 , e n → é a normal a S satisfazendo n → ⋅ i → < 0 .

Escolha uma:

  1. Apenas 3 afirmações são corretas.
  2. Apenas 2 afirmações são corretas.
  3. Nenhuma afirmação é correta.
  4. Apenas 1 afirmação é correta.
  5. Todas as afirmações são corretas

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

A nossa primeira afirmação nos diz que a integral ∫ γ F → ⋅ d r → é igual a 2 para uma γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t , t ∈ 0 , π .

∫ γ F → ⋅ d r → = 2

Então, o nosso trabalho é calcular a integral de linha do campo vetorial F → e confirmar se ele é igual a 2. Para isto, vamos precisar derivar inicialmente a nossa curva γ . Logo, derivando coordenada a coordenada, vamos obter:

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t

γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t , 1

Sendo assim, a nossa integral de linha será:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ 0 π F → γ t ⋅ γ ' t d t

OBS: antes de continuarmos, é importante deixarmos claro que F → γ t significa F → cos ⁡ t , sin ⁡ t , t . Isto é, no lugar de x teremos cos ⁡ t . Já no lugar de y e z , teremos respectivamente sin ⁡ t e t . É apenas uma substituição, sacaram?

Então, continuando...

∫ 0 π F → γ t ⋅ γ ' t d t = ∫ 0 π F → cos ⁡ t , sin ⁡ t , t ⋅ γ ' t d t

∫ 0 π cos ⁡ t , t , sin ⁡ t ⋅ - sin ⁡ t , cos ⁡ t , 1 d t

∫ 0 π - cos ⁡ t sin ⁡ t + t cos ⁡ t + sin ⁡ t d t = - ∫ 0 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t + ∫ 0 π t cos ⁡ t d t + ∫ 0 π sin ⁡ t d t

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente, para não nos confundirmos. Para quem não sacou a primeira integral, cos ⁡ t sin ⁡ t é exatamente sin ⁡ 2 t 2 . Ai ela sai fácil! Portanto,

∫ 0 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t = ∫ 0 π sin ⁡ 2 t 2 d t = - cos ⁡ 2 t 4 0 π = - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 0 4 = 0

Para a segunda integral, vamos fazer por partes. Portanto, se u = t , temos d u = d t . Se d v = cos ⁡ t , então v = sin ⁡ t . Logo,

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 π t cos ⁡ t d t = t sin ⁡ t 0 π - ∫ 0 π sin ⁡ t d t = t sin ⁡ t 0 π - - cos ⁡ t 0 π

∫ 0 π t cos ⁡ t d t = π sin ⁡ π - 0 - - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = 0

Por fim,

∫ 0 π sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t 0 π = 0

Logo,

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ 0 π - cos ⁡ t sin ⁡ t + t cos ⁡ t + sin ⁡ t d t = 0 ≠ 2

Como a nossa integral de linha foi diferente de 2, então, a afirmação I é falsa!

Passo 2

Vamos resolver a afirmação II agora. Precisamos resolver uma integral tripla em um volume B = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , y ≥ 0 .

Antes de discutirmos um pouco sobre o formato desse volume e o sistema de coordenadas que devemos utilizar para resolver, vamos calcular o divergente do campo F → . Afinal, é a integral tripla do divergente.

Sendo assim, vamos para as contas! Então,

d i v   F → = ∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ x , z , y

d i v   F → = 1

Olha só que beleza! Nossa integral tripla vai ser muito fácil de resolver! Ela será:

∭ B 1 d V = V

Portanto, a solução é exatamente o volume do sólido B . Este sólido é exatamente a metade de uma esfera de raio 1 (pensa na metade de uma laranja). Portanto,

V = V e s f e r a 2 = 4 π r 3 3 2 = 2 π ⋅ 1 3 3 = 2 π 3 ≠ 4 π 3

Então, a afirmação II é falsa!

Passo 3

Vamos resolver a afirmação III agora. Ela pede para nós verificarmos se

∬ S R o t F → ⋅ n → d S = 0

Em que S é a superfície dada por S = x 2 + y 2 + z 2 = 2 , z ≥ 0 , e n → é a normal a S satisfazendo n → ⋅ k → < 0 .

Então, como fizemos no Passo 2, vamos começar calculando o rotacional da nossa função. Portanto,

R o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x z y

R o t   F → = ∇ × F → = 1 - 1 i → + 0 - 0 j → + 0 - 0 k →

R o t   F → = ∇ × F → = 0,0 , 0

Eita beleza! Como o rotacional é o vetor nulo, a nossa integral será:

∬ S R o t F → ⋅ n → d S = ∬ S 0 → ⋅ n → d S = ∬ S 0 d S = 0

Percebam que o produto interno do vetor nulo com qualquer vetor é igual a 0, o qual será o valor da nossa integral.

Portanto, a afirmação III é verdadeira!

Passo 4

Para finalizarmos, vamos resolver a afirmação IV. Para isto, vamos utilizar o divergente que calculamos no Passo 2, para resolver a afirmativa II.

A ideia aqui é aplicarmos o teorema da divergência, o que nos dá a seguinte integral:

∬ S F → ⋅ n → d S = ∭ B d i v   F → d V = ∭ B d V

Lembrando que d i v   F → = 1 , conforme calculamos lá no Passo 2. O único ponto que devemos checar é em relação a orientação da nossa superfície, se ela possui uma orientação positiva.

Como a superfície é S = x 2 + y 2 + z 2 = 3 , mas para x ≤ 0 , então, o vetor normal deverá “apontar” para o lado negativo do eixo x . Isto é, a sua primeira coordenada (vamos chamar aqui de α ), o coeficiente que multiplica o vetor i → , será negativo. Então, ao fazermos o produto interno destes dois vetores, teremos:

n → ⋅ i → = α , β , γ ⋅ 1,0 , 0 = α < 0

E a relação acima é verdade, visto que α a gente viu que é negativo! Portanto, está tudo perfeito para utilizarmos o teorema da divergência!

E assim, teremos o mesmo resultado que a gente encontrou no Passo 2, a metade da esfera, ou melhor, “metade da laranja”! Sendo assim,

∬ S F → ⋅ n → d S = 2 π 3

E assim verificamos que a afirmação IV é falsa!

Portanto, a questão possui apenas 1 afirmação correta, e a resposta é a letra d.

Resposta

Apenas 1 afirmação é correta (letra d).

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