Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = x 4   i - x 3 z 2   j + 4 x y 2 z   k

Através da superfície do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e z = 2 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um gráfico dessa região, para entender melhor o problema. Temos um cilindro de raio 1 centrado na origem, cortado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e z = 2 , o que nos dá isso aqui:

Fazendo esses cortes, a região que sobra é a seguinte:

Como a região limitada por S é fechada, sendo S orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V

Passo 2

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

F → x , y , z = ( x 4 ,   - x 3 z 2 ,   4 x y 2 z )

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 4 x 3 + 0 + 4 x y 2 = 4 x ( x 2 + y 2 )

Passo 3

Agora vamos montar a integral

∬ S   F → . d s = 4 ∭ w   x ( x 2 + y 2 )   d x d y d z

Onde W é o volume que vimos no passo 1.

Passo 4

Vamos agora, descrever essa região W . Como nós temos um cilindro, parece uma boa usar coordenadas cilíndricas, certo? Temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Pela figura, vemos que 0 ≤ z ≤ 2 , como já diz o próprio enunciado também. Vemos, ainda, que 0 ≤ θ ≤ π / 2 , o que representa 1 / 4 de volta trigonométrica. Comos os valores de r variam desde o eixo z , onde r = 0 até o cilindro, temos 0 ≤ r ≤ 1 .

Isso nos dá

= 4 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ∫ 0 2 r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 r cos ⁡ θ ( r ) d z d r d θ =

= 4 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ∫ 0 2 r 4 cos ⁡ θ d z d r d θ =

Passo 5

Agora vamos resolver a integral.

Integrando em relação a z :

= 4 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ z 0 2 d r d θ =

= 8 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ d r d θ =

Agora em relação a r :

= 8 5 ∫ 0 π / 2 r 5 cos ⁡ θ 0 1 d θ =

= 8 5 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ d θ =

Finalmente, em relação a θ :

= 8 5 s e n   θ 0 π / 2 =

= 8 5

Resposta

8 5

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