Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Calcule a integral

∬ ∂ Ω F → . n → d S

Onde F → x , y , z = x - y + z , y - z + x ,   z - x + y , ∂ Ω é a fronteira da região

Ω = ( x , y , z ) | x - y + z 2 + y - z + x 2 + z - x + y 2 ≤ 1

Orientada com a normal n → exterior.

Passo 1

Como ∂ Ω é a fronteira de uma região (um volume), sabemos que essa superfície é fechada. Como o campo e a parametrização aqui são muito complicados, vamos tentar usar Gauss, ok?

Vamos começar calculando o divergente disso aí:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 2

Show, agora vamos aplicar o teorema:

∬ ∂ Ω   F → . n → d S = ∭ Ω   d i v F →   d V = 3 ∭ Ω   d V

Passo 3

Agora precisamos de uma mudança de variáveis. Repara que se a gente fizer a mudança:

x - y + z = u

y - z + x = v

z - x + y = w

A gente consegue fazer essa superfície virar uma esfera, viu?

Isso nos dá

u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1

Bom, precisamos do Jacobiano disso aí, temos:

∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y , ∂ u ∂ z = 1 , - 1,1

∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ z = 1 , 1 , - 1

∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y , ∂ w ∂ z = - 1,1 , 1

Agora tem que saber calcular determinante, galera, não tem jeito. Se liga:

J * = 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1 = 1 - 1 + 1 - - 1 - 1 - 1 = 1 + 3 = 4

J = 1 J * = 1 4

Ufa.

Passo 4

Agora fazemos a mudança:

∬ ∂ Ω   F → . n → d S = 3 ∭ e s f e r a   1 4 d V = 3 4 V o l u m e e s f e r a

Como o volume da esfera de raio 1 é 4 3 π :

∬ ∂ Ω   F → . n → d S = π

Resposta

π

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