Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja S a superfície do sólido delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1 ,   y = 1   e   z = 1 . Considere o campo vetorial dado por

F x , y , z = 673 x + cos ⁡ y 2 ,     673 y + s e n   z 3 ,   e - x y + 673 z .

Calcule o fluxo de F através de S .

Passo 1

Que campo bizarro não? Bora usar o bom e velho Teorema de Gauss pra resolver isso aí.

Bom, pra a gente poder aplicar, S tem de ser uma superfície orientada positivamente, e fronteira de uma região sólida, vamos chamar de W nessa questão, que se vc for observar não é nada mais que um cubo de aresta 1, e F uma campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em W.

Daí a gente pode então aplicar

∬ S F   d s =   ∭ W d i v   F d V

Passo 2

Depois de ter essa percepção, vamos começar a calcular. O d i v ( F ) fica:

d i v F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

= 673 + 673 + 673 = 2019

∭ W d i v   F d V =

2019 ∭ W d V

Essa integral tripla ai nada mais é do que o volume do nosso sólido, que nesse caso é 1. Então o resultado disso fica

= 2019

Resposta

2019

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