Seja v → = r → | r | 3 , onde r → = x i → + y j → + z k → . Calcule ∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ , onde N → é a normal unitária exterior a S nos seguintes casos:

( a ) S é a esfera de raio a > 0 com centro na origem;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ

em que o campo vetorial é dado por

v → = r → | r | 3

onde r → = x i → + y j → + z k → . Temos que a nossa superfície vai ser a esfera

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

Para este caso vamos usar a definição de uma integral de fluxo, ou seja, vamos calcular

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S v → ⋅ ∂ ϕ ( x , y ) ∂ x × ∂ ϕ ( x , y ) ∂ y   d x d y

Bora lá!

Passo 2

Primeiro precisamos de uma parametrização para a superfície esférica de raio a > 0 , podemos usar coordenadas esféricas para obter

ϕ ( θ , ϕ ) = ( a   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   c o s ( ϕ ) )

Se fizermos as derivadas parciais em rela��ão a θ e ϕ , temos que

∂ ∂ θ [ ϕ ( θ , ϕ ) ] = ( - a   s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) , 0 )

e da mesma forma

∂ ∂ ϕ [ ϕ ( θ , ϕ ) ] = ( a   c o s ( θ ) c o s ( ϕ ) , a   s e n ( θ ) c o s ( ϕ ) , - a   s e n ( ϕ ) )

Precisamos calcular o produto vetorial entre ambos os vetores, temos pela definição que

aplicando o determinante obtemos que

N → = ( a 2 c o s ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) - 0 , 0 - a 2 s e n ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) , - a 2 s e n 2 ( θ ) s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) - a 2 c o s 2 ( θ ) s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) )

ou simplesmente

N → = ( - a 2 c o s ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) , - a 2 s e n ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) , - a 2 s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) )

Note que podemos escrever este vetor normal como

N → = - a s e n ( ϕ ) ( a   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) ) = - a   s e n ( ϕ ) ϕ ( θ , ϕ )

Ou seja, como s e n ( ϕ ) > 0 no primeiro quadrante 0 ≤ ϕ ≤ π , temos que o vetor normal está apontando para dentro da esfera, desta forma, o que precisamos realmente considerar

N → = a s e n ( ϕ ) ( a   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) )

Precisamos usar isso em nossa integral! Vamos lá!

Passo 3

Temos a integral na forma

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S 1 a 3 ( a   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) , a   c o s ( ϕ ) ) ⋅ ( a 2 c o s ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) , a 2 s e n ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) , a 2 s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) ) d θ d ϕ

expandindo o produto escalar, obtemos

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S ( c o s 2 ( θ ) s e n 3 ( ϕ ) + s e n 2 ( θ ) s e n 3 ( ϕ ) + s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) ) d θ d ϕ

Usando a identidade trigonométrica, podemos obter que

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ S ( s e n 3 ( ϕ ) + s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) ) d θ d ϕ

Precisamos agora resolver as integrais! A integral em θ é bastante direta, portanto podemos escrever que

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ( s e n 3 ( ϕ ) + s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) ) d ϕ = 2 π ∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ + 2 π ∫ 0 π   s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ

Agora vamos resolver as integrais em ϕ que estão faltando! Saca só!

Passo 4

Primeiro, podemos escrever que

∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ = ∫ 0 π s e n ( ϕ ) s e n 2 ( ϕ ) d ϕ

lembrando da identidade trigonométrica, essa relação se torna

∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ = ∫ 0 π s e n ( ϕ ) [ 1 - c o s 2 ( ϕ ) ] d ϕ = ∫ 0 π s e n ( ϕ ) d ϕ - ∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ

A primeira integral é conhecida como

∫ 0 π s e n ( ϕ ) d ϕ = - c o s ( ϕ ) | 0 π = 2

e para a outra integral será conveniente utilizar a substituição simples

u   =   c o s ( ϕ ) e d u = - s e n ( ϕ )

de forma que usando que u ( 0 ) = 1 e u ( π ) = - 1 , podemos escrever

∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ = - ∫ 1 - 1 u 2 d u = - 1 3 u 3 | 1 - 1

avaliando os limites de integração nos leva em

∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ = 2 3

Ou seja, temos a seguinte integral

∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ = 2 - 2 3 = 4 3

Vamos voltar para a nossa integral original agora!

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = 8 π 3 + 4 π 3 = 4 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S v → ⋅ N → d σ = 4 π

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