Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Questão 3: Seja S a fronteira da região E :

E = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 + x 2 + y 2 ,   z ≤ 2 .

  1. Esboce a região E .
  2. Calcular o fluxo do campo vetorial F = z ,   x 2 y ,   y 2 z ao longo da superfície S .

Passo 1

a )

Para esboçar a região E , basta ficar ficarmos atento para a sua definição:

E = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 + x 2 + y 2 ,   z ≤ 2 .

Onde podemos tirar que ele é o cara que está dentro de duas superfícies conhecidas:

z = 2 x 2 + y 2

z = 1 + x 2 + y 2

A primeira é um cone com vértice na origem:

A segunda é um paraboloide com a concavidade pra cima e passando por z = 1 :

Veja você mesmo que a região E é esse cara aqui:

Passo 2

b )

Bem, fluxo de um campo vetorial, nada mais é do que uma integral de superfície:

∬ S   F ⋅ n → d S

Porém repare você que como a superfície S é fechada e definida por superfícies que não tem equações muito interessantes, calcular essa integral de superfície de forma direta pode nos dar certo trabalho. Além disso, se calcularmos o divergente de F ...

d i v F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Onde F 1 ,   F 2 e F 3 são componentes do campo...

F = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = z ,   x 2 y ,   y 2 z

d i v F = 0 + x 2 + y 2 =

x 2 + y 2

A gente percebe, então, que o divergente é muito interessante, nos indicando que vamos resolver o nosso problema pelo TEOREMA DE GAUSS!

Passo 3

Esse teorema nos iguala:

∬ S   F ⋅ n → d S = ∭ E   d i v F   d V

Mas, antes de aplicarmos essa igualdade, precisamos verificar as condições do Teorema que sempre nos exige:

  1. Uma superfície S fechada delimitando E .
  2. Uma orientação positiva.
  3. Um campo F sem singularidades.

Nos três passos que seguem, vamos verificar cada condição. Bora?

Passo 4

A primeira condição:

Uma superfície S fechada delimitando E .”

SIM! Isso já está sendo satisfeito:

Passo 5

A segunda condição:

Uma orientação positiva.”

Bem, isso significa que precisamos que a superfície fechada S tenha vetores normais saindo apontando para fora. Como o exercício não nos deu uma orientação definida, podemos assumir essa condição sendo satisfeita, ok?

Passo 6

A terceira condição:

Um campo F sem singularidades.”

Se a gente der uma olhadinha no campo:

F = z ,   x 2 y ,   y 2 z

Percebemos que esse cara não tem problema algum de definição. Ou seja, ele não tem singularidades!

Passo 7

Com essas três condições analisadas, podemos prosseguir com o teorema !

∬ S   F ⋅ n → d S = ∭ E   d i v F   d V =

∭ E   x 2 + y 2   d V

Agora, troquemos o problema de resolver uma integral de superfície por um problema de cálculo de integral tripla.

Passo 8

Para resolver essa integral tripla então, devemos descrever o sólido E de alguma forma:

Como esse sólido varia entre cone e um paraboloide, podemos descrevê-lo em coordenadas cilíndricas, onde vamos trocar:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Com essa mudança temos:

J = r

x 2 + y 2 = r 2

Devemos prosseguir a descrição do sólido, então, encontrando a variação dos parâmetros r , θ e z .

Passo 9

Os parâmetros r e θ , podem ser encontrados na projeção do sólido no plano x y !

Veja que essa projeção nos indica que esses parâmetros variam na intersecção das duas superfícies delimitadora. A intersecção de uma forma matemática é a resolução do sistema com as duas equações das superfícies delimitadoras:

z = 2 x 2 + y 2 z = 1 + x 2 + y 2                 →                 x 2 + y 2 = z - 1             →

z = 2 z - 1       →

z 2 = 4 z - 1     →

z 2 - 4 z + 4 = 0

Resolvendo por Báskara...

z = 2

Então...

x 2 + y 2 = 2 - 1 = 1

E esse cara é um círculo de raio 1 (como já dava para perceber na projeção)...

Logo...

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 10

Para a variação de z , perceba que ele entra na região E pelo cone e sai pelo paraboloide...

2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 + x 2 + y 2

Em coordenadas cilíndricas...

2 r 2 ≤ z ≤ 1 + r 2

2 r ≤ z ≤ 1 + r 2

Passo 11

Voltando para a integral tripla...

∭ E   x 2 + y 2   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 2 r 1 + r 2 r 2 ⋅ J   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 2 r 1 + r 2 r 3   d z d r d θ

Calculando agora...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 ∫ 2 r 1 + r 2   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 1 + r 2 - 2 r d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 + r 5 - 2 r 4 d r d θ = ∫ 0 2 π r 4 4 + r 6 6 - 2 r 5 5 0 1 d θ =

∫ 0 2 π 1 4 + 1 6 - 2 5 d θ = 1 4 + 1 6 - 2 5 ∫ 0 2 π d θ =

2 π 1 4 + 1 6 - 2 5 = π 1 2 + 1 3 - 4 5 =

π 30

Pelo teorema de Gauss:

∬ S   F ⋅ n → d S = ∭ E   d i v F   d V = π 30

Resposta

a )

b ) π 30

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