(Capítulo 16.9 – Exercício 5) Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S   F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x y e 2 i ^ + x y 2 z 3 j ^ - y e z k ^ , S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 3 , y = 2 e z = 1 .

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Esse é um exercício Clássico de Teorema do Divergente.

Mas só um minuto! O que é issoooooo?

O Teorema do Divergente, também chamado Teorema de Gauss, estabelece uma relação entre a integral (derivada) do divergente de um campo vetorial F → sobre uma região com a integral de F → sobre a fronteira da região.

A questão pede pra gente calcular a integral de fluxo de F → sobre S usando o teorema do divergente:

∯ S   F → ⋅ d S → = ∭ ∇ ⋅ F →   d V

Assim, trocamos a integral de superfície de F → pela integral de volume do divergente!

Nesse caso, a região de integração é a caixa retangular:

0 ≤ x ≤ 3 ,           0 ≤ y ≤ 2             e             0 ≤ z ≤ 1

Assim, aplicando na fórmula vamos ter que:

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 ∫ 0 1 ∇ ⋅ F →   d z   d y   d x

E desenvolvendo a integral ali em cima, temos que o divergente será:

∇ ⋅ F → = ∂ x F x + ∂ y F y + ∂ z F z = y e 2 + 2 x y z 3 - y e z

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 ∫ 0 1 ( y e 2 + 2 x y z 3 - y e z )   d z   d y   d x

Passo 2

Primeiro fazemos a integral em z :

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 y e 2 z + x y z 4 2 - y e z 0 1   d y   d x

Portanto,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 y e 2 + x y 2 - y e + y   d y   d x

Agora integramos em y :

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 3 e 2 y 2 2 + x y 2 4 - e y 2 2 + y 2 2 0 2   d x

Logo,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = ∫ 0 3 2 e 2 + x - 2 e + 2   d x

Por fim, fazendo a integral em x :

∭ ∇ ⋅ F →   d V = 2 e 2 x + x 2 2 - 2 e x + 2 x 0 3 = 6 e 2 + 9 2 - 6 e + 6

Assim,

∭ ∇ ⋅ F →   d V = 21 2 + 6 e 2 - 6 e

Desta forma, pelo teorema do divergente:

∯ S   F → ⋅ d S → = 21 2 + 6 e 2 - 6 e

Pra essa questão é isso, pessoal! Bem simples, não é mesmo? Bora resolver mais uma então?

Resposta

∯ S   F → ⋅ d S → = 21 2 + 6 e 2 - 6 e

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