Calcule o fluxo F → através de S ( N → = normal unitária exterior), para:

( b ) F → ( x , y , z ) = ( x 3 + y   s e n ( z ) ,   y 3 + z   s e n ( x ) ,   3 z ) e S a superfície do sólido limitado pelos hemisférios z = 4 - x 2 - y 2 , z = 1 - x 2 - y 2 e pelo plano z = 0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular o fluxo do seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( x 3 + y   s e n ( z ) ,   y 3 + z   s e n ( x ) ,   3 z )

através da superfície S limitada pelos hemisférios

z = 4 - x 2 - y 2 , z = 1 - x 2 - y 2

e pelo plano z = 0 . O cálculo de fluxos pode ser feito através da seguinte expressão

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = ∫ ∫ ∫ V d i v ( F → )   d V

Acima temos o teorema de Gauss, descobrir se é interessante expandir o lado esquerdo ou o lado direito da expressão acima é caminho! Bora lá!

Passo 2

Vamos calcular a divergência do campo vetorial, nós temos que

d i v ( F → ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

em que F → ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z ) = ( x 3 + y   s e n ( z ) , y 3 + z   s e n ( x ) , 3 z ) . Calculando as derivadas parciais temos então que

d i v ( F → ) = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 = 3 ( x 2 + y 2 + 1 )

Ficou até bastante simples! Talvez seja conveniente expandir a nossa integral tripla! Mas, antes disso, vamos dar uma olhada em nossa região, ela é a seguinte

Ou seja, queremos tudo que está acima de z = 0 entre os dois hemisférios acima! Isso está pedindo por coordenadas esféricas! Bora lá!

Passo 3

Vamos escrever nossos hemisférios usando a seguinte mudança de coordenada

x = r   c o s ( θ )   s e n ( ϕ ) , y = r   s e n ( θ )   s e n ( ϕ ) e z = r   c o s ( ϕ )

e, o jacobiano já conhecido como

J = r 2   s e n ( ϕ )

de forma que a nossa integral se torna

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 ∫ ∫ ∫ V ' ( r 2 c o s 2 ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) + r 2 s e n 2 ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) + 1 ) r 2   s e n ( ϕ ) d r   d θ   d ϕ

convenientemente ainda podemos simplificar a expressão acima um pouco para obter

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 ∫ ∫ ∫ V ' ( r 4 s e n 3 ( ϕ ) + r 2 s e n ( ϕ ) ) d r   d θ   d ϕ

No entanto, é preciso tomar um cuidado com os limites de integração! O raio vai do raio do hemisfério de dentro até o hemisfério de fora, portanto, temos que 1 ≤ r ≤ 2 , o ângulo θ está no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π e o ângulo ϕ está no intervalo 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 já que estamos acima do plano z = 0 . Temos então que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 ∫ 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ( r 4   s e n 3 ( ϕ ) + r 2 s e n ( ϕ ) ) d ϕ   d r   d θ

Vamos começar com a integração em ϕ ! Vem comigo!

Passo 4

Separando a integral em ϕ , temos que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 4 d r   d θ ∫ 0 π / 2 s e n 3 ( ϕ ) d ϕ   + 3 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 d r   d θ ∫ 0 π / 2 s e n ( ϕ ) d ϕ  

A integral em s e n ( ϕ ) é bastante simples, ela resulta em

∫ 0 π / 2 s e n ( ϕ ) d ϕ = - c o s ( ϕ ) | 0 π / 2 = 1

para resolver a outra integral será conveniente escrever a expressão acima como s e n 3 ( ϕ ) = s e n ( ϕ ) s e n 2 ( ϕ ) , e usar a identidade trigonométrica para reescrever o s e n 2 ( ϕ ) , vamos ficar com

∫ 0 π / 2 s e n 3 ( ϕ ) d ϕ = ∫ 0 π / 2 s e n ( ϕ ) [ 1 - c o s 2 ( ϕ ) ] d ϕ = ∫ 0 π / 2 s e n ( ϕ ) d �� - ∫ 0 π / 2 s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ

A primeira dessas duas integrais já é conhecida, podemos escrever que

∫ 0 π / 2 s e n ( ϕ ) d ϕ = - c o s ( ϕ ) | 0 π = 1

e, para a segunda integral precisamos usar a substituição simples

u = c o s ( ϕ ) e d u = - s e n ( ϕ ) d ϕ

usando que u ( π / 2 ) = 0 e que u ( 0 ) = 1 , obtemos

∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ = - ∫ 1 0 u 2 d u = - 1 3 u 3 | 1 0

avaliando os limites de integração temos que

∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ = 1 3

a nossa integral se torna então

∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ = 1 - 1 3 = 2 3

Voltando estes resultados em nossa integral original, temos que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 4 d r   d θ + 3 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 2 d r   d θ  

Vamos integrar em r agora!

Passo 5

A integral em r pode ser resolvida usando a regra do polinômio para integrais, temos que

∫ 0 1 r 4 d r = 1 5 r 5 | 1 2 = 1 5 [ 2 5 - 1 5 ]

que resulta em

∫ 1 2 r 4 d r = 31 5

e também temos que

∫ 1 2 r 2 d r = 1 3 r 3 | 1 2 = 7 3

de forma que temos a nossa integral reduzida à

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 62 5 ∫ 0 2 π d θ   + 7 ∫ 0 2 π d θ  

A última integral é bastante direta, temos que

∫ 0 2 π   d θ = θ | 0 2 π = 2 π

e, portanto, o resultado final é

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 124 π 5   + 14 π = 194 π 5  

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 194 π 5  

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