Calcule ∫ ∫ S d y ∧ d z + y 3 d z ∧ d x + z 2 d x ∧ d y , onde S está orientada pela normal exterior nos seguintes casos:

( a ) S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S d y ∧ d z + y 3 d z ∧ d x + z 2 d x ∧ d y

Essa notação com produto exterior pode ser um pouco assustadora, então vamos considerar o seguinte formato equivalente

∫ ∫ S d y ∧ d z + y 3 d z ∧ d x + z 2 d x ∧ d y = ∫ ∫ S ( i → ⋅ n → ) d y d x   +   y 3 ( j → ⋅ n → ) d z   d x   + z 2 ( k → ⋅ n → ) d x d y

a esfera considerada é da forma

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência de Gauss, já que o campo vetorial é meio chatinho! Temos que o teorema diz

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ ∫ ∫ V d i v ( v → ) d V

Muitas vezes é mais simples resolver a integral tripla do que calcular explicitamente a integral de superfície! Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular de cara a divergência do campo vetorial, temos por definição que

d i v ( v → ) = ∇ → ⋅ v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z

em que

v → = ( v x , v y , v z ) = ( 1 , y 3 , z 2 )

calculando as derivadas parciais e somando todos os termos, obtemos que a divergência tem a seguinte forma

d i v ( v → ) = [ 0 ] + [ 3 y 2 ] + [ 2 z ] = 3 y 2 + 2 z

bem mais simples não é? A nossa integral se torna então

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ ∫ ∫ V [ 3 y 2 + 2   z ] d x d y d z

Mas, e qual é a nossa região? Vamos trabalhar com ela um pouco!

Passo 3

O sólido pode ser representado pela seguinte figura

que é uma esfera arbitrária! Desta forma, o mais conveniente é escrever tudo em coordenadas esféricas dadas por

x = r   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) , y =   r   s e n ( θ )   s e n ( ϕ ) e z = r   c o s ( ϕ )

lembrando que em coordenadas esféricas temos d x d y d z = r 2   s e n ( ϕ )   d r   d θ   d z . Note que 0 ≤ r ≤ r ' , que 0 ≤ θ ≤ 2 π , e também que 0 ≤ ϕ ≤ π . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π ∫ 0 π [ 3 [ r 2 s e n 2 ( θ ) s e n 2 ( ϕ ) ] + 2   r   c o s ( ϕ ) ] r 2   s e n ( ϕ ) d r d θ d ϕ

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

Passo 4

Podemos começar com qualquer uma das variáveis uma vez que os limites de integração são todos constantes! Usualmente vale a pena começar com as variáveis trigonométricas porque muitas delas se anulam devido a simetrias das funções seno e cosseno! Portanto, integrando primeiramente em ϕ , temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π r 4 s e n 2 ( θ ) d r d θ ∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ + 2 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π   r 3 d r d θ ∫ 0 π   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) d ϕ

Para resolver essas integrais vamos usar a substituição simples

u   =   c o s ( ϕ ) e d u   =   - s e n ( ϕ ) d ϕ

mas antes disso, vamos usar que s e n 2 ( ϕ ) = 1 - c o s 2 ( ϕ ) na primeira integral para obter

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π r 4 s e n 2 ( θ ) d r d θ [ ∫ 0 π s e n ( ϕ ) d ϕ - ∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ ] + 2 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π   r 3 d r d θ ∫ 0 π   s e n ( ϕ ) c o s ( ϕ ) d ϕ

usando a substituição, notando que os limites se tornam u ( π ) = - 1 e u ( 0 ) = 1 , temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π r 4 s e n 2 ( θ ) d r d θ [ ∫ 0 π s e n ( ϕ ) d ϕ + ∫ 1 - 1 u 2 d u ] - 2 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π   r 3 d r d θ ∫ 1 - 1   u d u

Resolvendo todas as integrais conhecidas, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π r 4 s e n 2 ( θ ) d r d θ [ - [ c o s ( ϕ ) | 0 π ] + 1 3 [ u 3 ] | 1 - 1 ] - 2 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π   r 3 d r d θ 1 2 [ u 2 ] | - 1 1

Avaliando os limites de integração, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 4 ∫ 0 r ' ∫ 0 2 π r 4 s e n 2 ( θ ) d r d θ

Vamos continuar com as integrações agora!!

Passo 5

Integrando a variável θ , temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 4 ∫ 0 r ' r 4 d r ∫ 0 2 π s e n 2 ( θ ) d θ

analogamente ao que fizemos na integração em ϕ podemos usar a relação de meio ângulo para o seno e obter

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 2 ∫ 0 r ' r 4 d r [ ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ = 2 ∫ 0 r ' r 4 d r [ θ | 0 2 π - 1 2 [ s e n ( 2 θ ) ] | 0 2 π ]

avaliando os limites de integração isso se torna

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 4 π ∫ 0 r ' r 4 d r

Agora só precisamos usar a regra do polinômio para integrar em r , e assim obter

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 4 π [ 1 5 r 5 ] | 0 r ' = 4 π r ' 5 5

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 4 π r ' 5 5

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