Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja F → um campo vetorial de classe C 1 em Ω = R 3 \ { ( 0.0 . 0 ) } .   Analise as seguintes afirmações.

(I) Se r o t   F → = 0 → então F → é conservativo.

(II) Se F → é gradiente então d i v   F → = 0 .

(III) Se d i v   F → = 0 então r o t   F → = 0 → .

Podemos afirmar que:

a) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

b) todas as afirmações são verdadeiras.

c) todas as afirmações são verdadeiras.

d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

e) apenas a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 1

Vamos entender primeiro o que o enunciado quer nos dizer, beleza? Ele diz que temos um campo vetorial F → no R 3 . Isso quer dizer que ele está no espaço 3 D .

Mas ele fala ali:

Ω = R 3 \ { ( 0.0 . 0 ) }

Isso quer dizer que o campo não está definido na origem, no ponto 0,0 , 0 .

Então a gente tem essas duas informações sobre o campo. Vamos para os itens.

Passo 2

(I) Ele diz que se o rotacional zera, temos que F → é conservativo. Cara, vamos lá. Uma característica que o campo conservativo tem é essa:

∮ γ F → ⋅ d r → = 0

Integral de linha vetorial sobre uma curva fechada é nula. Vamos ver se a gente consegue provar que isso é verdade para o nosso campo. E como a gente não tem a expressão do campo, mas tem o rotacional dele, vamos usar o teorema de Stokes.

Ele diz isso aqui:

∮ δ S F ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t   F ⋅ N → d s

Onde δ S é a fronteira de uma superfície S bem definida no domínio Ω do campo. Se o rotacional zera, temos que:

∮ δ S F ⋅ d r → = 0

E isso prova que o campo é de fato conservativo, né? Mas muita calma nessa hora! A gente já viu que usando o Teorema de Stokes a gente prova que o campo é conservativo.

Mas será que podemos usar o Teorema no nosso campo F → mesmo ele não estando definido na origem?

Passo 3

Vamos avaliar isso então. Lembra que no R 2 se o nosso campo tivesse rotacional nulo, mas não estivesse definido na origem, ele não era conservativo? Isso acontecia porque a gente não conseguia fazer todas as integrais sobre uma curva fechada nele zerar.

E onde estava o problema? Usávamos o teorema de Green para provar que integrais sobre curvas que enlaçavam o nosso ponto não definido ficavam diferente de zero. Aí a agora gente vai ver se isso é um empecilho aqui também. Será?

Vamos testar então se a gente consegue provar pelo Teorema de Stokes que as integrais de linha vetorial sobre curvas fechadas em volta do ponto 0,0 , 0 serão nulas no R 3 .

Imagina que a gente tem um círculo genérico em volta da origem. E queremos usar Stokes para calcular a integral de linha sobre ele. Precisamos de uma superfície que seja limitada pela curva, mas que não passe no ponto 0,0 , 0 .

A gente pode usar uma semiesfera né?

Olha só, deu certo. Aí a gente pode atender todos critérios de Stokes. Temos nossa curva que é fronteira de uma superfície que está no espaço onde nosso campo está bem definido.

Então se a gente generalizar e colocar qualquer curva fechada ali, só precisamos de uma superfície, com fronteira nessa curva que desvie de ( 0,0 , 0 ) . Então de fato, Stokes vale para todo esse campo. E aí já que nosso r o t   F → = 0 → .

∮ δ S F ⋅ d r → = 0

E sim, r o t   F → = 0 → é suficiente para que esse campo seja conservativo.

Verdade essa afirmação bonita.

Passo 4

(II) Aqui a gente tem essa informação para analisar:

Essa daí diz que se F → é gradiente, ou seja, r o t   F → = 0 → , temos que

d i v   F → = 0

O que a gente sabe sobre F → ? Cara, ele só não é definido em ( 0,0 , 0 ) .

Será que porque o rotacional é nulo, o divergente também vai ser? Vamos tentar pensar em um campo que tem rotacional nulo e não está definido na origem. Isso é o mesmo que criar um campo a partir de uma função potencial.

Se a nossa função potencial for, por exemplo:

f x , y , z = 1 x + y + z

Repara que ela já começa não sendo definida em 0,0 , 0 . O campo que é igual ao gradiente dessa função é:

F → = f x , f y , f z = - 1 x + y + z 2 , - 1 x + y + z 2 , - 1 x + y + z 2

Ele tem r o t   F → nulo (por ter uma função potencial). Será que ele tem divergente nulo? Vamos ver:

d i v   F → = ∂ - 1 x + y + z 2 ∂ x + ∂ - 1 x + y + z 2 ∂ y + ∂ - 1 x + y + z 2 ∂ z

d i v   F → = 2 x + y + z 3 + 2 x + y + z 3 + 2 x + y + z 3 = 6 x + y + z 3

Ih olha só. Não deu zero. Isso quer dizer que:

d i v   F → ≠ 0

O que mostra que essa afirmação é falsa. ☹

Passo 5

(III) Essa daí diz basicamente a recíproca da outra. Se d i v   F → = 0 , temos r o t   F → = 0 . Mas será que é verdade?

Vamos usar o mesmo método e pensar em um campo que tenha d i v   F → = 0 , mas possa ter rotacional não nulo. Vamos tentar o campo:

F → = x 2 , - 2 x y , 0

O divergente dele é:

d i v   F → = ∂ x 2 ∂ x + ∂ - 2 x y ∂ y + ∂ 0 ∂ z = 2 x - 2 x = 0

Será que o rotacional dele vai ser um vetor nulo?

r o t   F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 - 2 x y 0

r o t   F → = ∂ ( 0 ) ∂ y - ∂ - 2 x y ∂ z i ^ - ∂ 0 ∂ x - ∂ x 2 ∂ z j ^ + ∂ - 2 x y ∂ x - ∂ x 2 ∂ y k ^

r o t   F → = 0 i ^ - 0 j ^ + - 2 y k ^ = 0,0 , - 2 y

Ih olha só. Não foi um vetor nulo. O que mostra que essa afirmação é falsa também. ☹

Obs: Repara que a gente escolheu um campo que não tinha só funções de x na componente x , só funções de y na componente y e só funções de z na componente z . Com isso, tínhamos mais chances de não zerar o r o t   F → .

Resposta

Letra e

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