Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Determine o fluxo do campo vetorial:

F = y 2 x + x x 2 + y 2 + z 2 , z 2 y + y x 2 + y 2 + z 2 , x 2 z + z x 2 + y 2 + z 2

Através da superfície do solido W limitado pelas esferas de equações: x 2 + y 2 + z 2 = a 2

x 2 + y 2 + z 2 = b 2

0 < a < b

Orientadas com sentidos opostos e exteriores ao sólido W .

Passo 1

Podemos ver que se trata de uma questão de Teorema de Gauss pois o campo em questão é muito complexo para se fazer a conta. Portanto, aplicando o Teorema:

∬ S   F ∙ d S → = ∭ W   d i v F d x d y d z

Calculando o divergente:

d i v F = ∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y + ∂ F ∂ z

∂ F ∂ x = y 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F ∂ y = z 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F ∂ z = x 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

d i v F = x 2 + y 2 + z 2 + 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 - 2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

d i v F = x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

d i v F = x 2 + y 2 + z 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2

Substituindo na fórmula, dá pra ver que o ideal é trabalhar com coordenadas esféricas:

∬ S   F ∙ d S → = ∭ W   x 2 + y 2 + z 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Passo 2

Mudando para coordenadas esféricas temos:

x = ρ   s e n ϕ cos ⁡ θ

y = ρ   s e n ϕ s e n θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

θ ∈ 0,2 π

ϕ ∈ [ 0 , π ]

ρ ∈ a , b

E pelo Jacobiano temos o elemento de volume:

d x d y d z = ρ 2 s e n ϕ   d ρ d ϕ d θ

Passo 3

Substituindo:

∬ S   F ∙ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ a b ρ 2 + 1 ρ 2 ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Arrumando e calculando:

∬ S   F ∙ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ a b ρ 4 + 1 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

∬ S   F ∙ d S → = 2 π × - cos ⁡ ϕ 0 π × ρ 5 5 + ρ a b

∬ S   F ∙ d S → = 4 π b 5 - a 5 5 + b - a

Resposta

∬ S   F ∙ d S → = 4 π b 5 - a 5 5 + b - a

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