( a ) Calcule ∫ ∫ S F → ⋅ n   → d σ , sendo que F → ( x , y , z ) = x   i → + y   j → + z   k → ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 e S é a semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 com z ≥ 0 , orientada com a normal n → tal que n → ⋅ k → ≥ 0 .

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos que calcular a seguinte integral de superfície

∫ ∫ S F → ⋅ n → d σ

em que o campo vetorial considerado é dado por

F → ( x , y , z ) = x   i → + y   j → + z   k → ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2

Existe uma identificação bastante direta, através do teorema da divergência de Gauss que pode ser útil, temos que

∫ ∫ S ' F → ⋅ n → d σ = ∫ ∫ ∫ W d i v ( F → ) ⋅ d V

mas note que no lado esquerdo temos uma superfície S ' que é fronteira do sólido W . Para sabermos qual identificação vale a pena trabalhar, precisamos verificar a nossa superfície! Saca só!

Passo 2

A nossas região pode ser visualizada como

A nossa superfície é a cúpula de um sólido W , que tem como base o plano z = 0 . Então, podemos considerar o teorema da divergência de Gauss, usando um S ' da forma

S ' = S + S b a s e

que é fronteira de W , e portanto, a nossa integral pode ser identificada como

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ n → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ n → d σ + ∫ ∫ S b a s e F → ⋅ n → b a s e d σ b a s e = ∫ ∫ ∫ W d i v ( F → ) ⋅ d V

A integral que nós queremos é apenas uma parte do lado esquerdo do teorema de Gauss, portanto, vamos ter que calcular as outras duas componentes. No entanto, isso é um pouco mais fácil do que expandir a integral de superfície normalmente! Saca só!

Passo 3

Vamos começar calculando o lado direito, temos que a divergência do campo é tal que

d i v ( F → ) = ∂ ∂ x [ F x ] + ∂ ∂ y [ F y ] + ∂ ∂ z [ F z ]

em que F → ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z ) . Substituindo então o campo dado no enunciado, temos que

d i v ( F → ) = ∂ ∂ x [ x   ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 ] + ∂ ∂ y [ y ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 ] + ∂ ∂ z [ z ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 ]

Aplicando a regra do quociente junto com a regra da cadeia, e lembrando que em derivadas parciais toda variável que não é derivada é tomada como constante, obtemos que

d i v ( F → ) = ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 - 12 x 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 1 / 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 + ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 - 27 y 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 1 / 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 + ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 - 75 z 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 1 / 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3

evidenciando o denominador, e o termo - 3 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 1 / 2 , temos que

d i v ( F → ) = 3 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 - 3 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 1 / 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 = 3 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 - 3 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3 / 2 ( 4 x 2 + 9 y 2 + 25 z 2 ) 3

Portanto, temos que

d i v ( F → ) = 0

sendo assim, o lado direito do teorema de Gauss é identificado como

∫ ∫ �� W d i v ( F → ) d V = 0

Vamos resolver o lado esquerdo agora! Saca só!

Passo 4

O nosso problema está resumido em

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ N → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ n → d σ + ∫ ∫ S b a s e F → ⋅ n → b a s e d σ b a s e = 0

Vamos analisar a integral de superfície que falta, primeiro, discutindo quem é o vetor normal! Pela nossa figura, e levando em consideração que a normal considerada para a nossa superfície é tal que N → ⋅ k → ≥ 0 (ou seja, o vetor normal externo a superfície S ), temos que a base tem um vetor normal dado por

n → b a s e = ( 0,0 , - 1 )

Usando o formato de nosso campo vetorial, e resolvendo o produto escalar na integral de superfície, temos que

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ n → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ n → d σ - ∫ ∫ S b a s e [ z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] d σ b a s e = 0

como temos que a base está em z = 0 isso se resume à

∫ ∫ S ' ( F → ) ⋅ n → d S ' = ∫ ∫ S F → ⋅ n → d σ = 0

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ n → d σ = 0

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