Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja F → x , y , z um campo de vetores de classe C 2 em R 3 , que não é identicamente nulo. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se F → é conservativo em R 3 , então R o t F → ≡ 0 → em R 3 .
  2. d i v r o t   F → ≡ 0 em R 3 .
  3. Se F → representa um campo de velocidades de um fluido em R 3 e d i v   F → ≡ 0 , então o volume de regiões limitadas com fronteira de conteúdo nulo é preservado pelo escoamento.
  4. Existe uma superfície com bordo S em R 3 , orientada por uma normal n → , tal que o fluxo de F → através de S na direção n → é não-nulo.

Podemos afirmar que:

Escolha uma:

  1. Apenas 3 afirmações são corretas.
  2. Nenhuma afirmação é correta.
  3. Apenas 2 afirmações são corretas.
  4. Todas as afirmações são corretas.
  5. Apenas 1 afirmação é correta.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

Esta questão é bem teórica. Não precisamos de nenhum cálculo para resolvê-la.

Sendo assim, vamos começar com a primeira afirmação. Ela nos diz que, se F → é conservativo em R 3 , então R o t F → ≡ 0 → em R 3 .

Temos um Teorema que afirma que, se f é uma função real de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então r o t ∇ f = 0 → .

Isto é decorrência direta do Teorema de Clairaut, que afirma que podemos trocar a ordem de derivação que o resultado será o mesmo. Por exemplo,

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Portanto, vamos provar aqui esta relação:

R o t   ∇ f = ∇ × ∇ f = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z

R o t   ∇ f = ∇ × ∇ f = ∂ 2 f ∂ y ∂ z - ∂ 2 f ∂ z ∂ y , ∂ 2 f ∂ z ∂ x - ∂ 2 f ∂ x ∂ z , ∂ 2 f ∂ x ∂ y - ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0,0 , 0

Como dito anteriormente, pelo Teorema de Clairaut. Continuando, como todo campo conservativo é da forma F → = ∇ f , então, se F → é um campo conservativo, temos:

R o t   F → ≡ 0 →

E assim provamos a primeira afirmação.

Passo 2

Vamos agora para a segunda afirmativa. Ela nos diz que: d i v r o t   F → ≡ 0 em R 3 .

Como o campo vetorial F → é um campo vetorial de classe 2, e consequentemente possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vamos provar que a afirmação dada na questão é verdadeira.

Para isto, vamos assumir que F → = P , Q , R . Portanto,

R o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Agora, vamos calcular o divergente do rotacional acima. Portanto,

d i v R o t   F → = ∇ ⋅ ∇ × F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

d i v R o t   F → = ∂ 2 R ∂ x ∂ y - ∂ 2 Q ∂ x ∂ z + ∂ 2 P ∂ y ∂ z - ∂ 2 R ∂ y ∂ x + ∂ 2 Q ∂ z ∂ x - ∂ 2 P ∂ z ∂ y

d i v R o t   F → = ∂ 2 R ∂ x ∂ y - ∂ 2 R ∂ y ∂ x + ∂ 2 Q ∂ z ∂ x - ∂ 2 Q ∂ x ∂ z + ∂ 2 P ∂ y ∂ z - ∂ 2 P ∂ z ∂ y

Aplicando novamente o Teorema de Clairaut, as derivadas parciais acima irão se anular, e consequentemente iremos obter:

d i v R o t   F → ≡ 0

E assim provamos a afirmação II!

Passo 3

Para resolvermos a afirmação III temos que entrar no campo lúdico do teorema da divergência.

O divergente pode ser analisado, na mecânica dos fluidos, como a taxa de variação de volume de um fluido em um determinado espaço (volume).

Se o divergente for maior que zero, dizemos que a região é uma fonte. Isto é, ela está fornecendo para fluido para outros ambientes. Já se o divergente for negativo, temos o contrário. O nosso volume está absorvendo fluido das regiões ao redor.

E o que acontece se o divergente for nulo? Nada. O fluido pode até se movimentar, mas o volume líquido (variação do volume no tempo) é nulo. Portanto, o nosso volume não armazena nem perde fluido para o ambiente externo.

Logo, o volume é preservado!

Portanto, a afirmação III é verdadeira!

Passo 4

Para finalizarmos a questão, temos a afirmação IV, que é a mais fácil de ser resolvida.

Ela nos diz que existe uma superfície com bordo S em R 3 , orientada por uma normal n → , tal que o fluxo de F → através de S na direção n → é não-nulo.

A questão é que não conhecemos nada sobre a superfície S , e essa também é a nossa alegria. Isto nos permite pensar em qualquer superfície tal que o nosso campo vetorial F → não seja ortogonal ao vetor normal n → , para que o fluxo, dado pela seguinte relação:

∬ S F → ⋅ n → d S

Seja diferente de zero. Portanto, nosso problema não está na superfície S , mas sim no campo vetorial F → .

Para que o fluxo seja sempre nulo, a única possibilidade é se F → = 0 → . Agora, como o enunciado nos diz que o campo vetorial F → não é identicamente nulo, então, teremos alguma superfície S que satisfaça o fluxo ser não nulo. Portanto, a afirmação IV é verdadeira!

E assim concluímos a questão verificando que todas as afirmações são corretas (letra d).

Resposta

Todas as afirmações são corretas (letra d).

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