Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Calcule o fluxo do campo vetorial

F = ( 3 x y 2 , x e z , z 3 ) ,

onde S   é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e os planos x = - 1 e x = 2 .

Passo 1

Cara, calcular o fluxo do campo através de uma superfície é calcular a integral de superfície vetorial.

A gente tem um campo vetorial bem feio e uma superfície fechada (já que ele diz que ela limita um sólido). Essas são dicas para gente calcular essa integral usando o teorema de Gauss! (ou do Divergente!)

Vamos começar calculando o divergente de F → para saber se nossa ideia é boa mesmo. Ele tem essa fórmulinha:

d i v   F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Como o nosso campo é:

F x , y , z = F 1 , F 2 , F 3 = 3 x y 2 , x e z , z 3

Então a gente calcula:

d i v   F = ∂ 3 x y 2 ∂ x + ∂ x e z ∂ y + ∂ z 3 ∂ z

d i v   F = 3 y 2 + 0 + 3 z 2 = 3 y 2 + z 2

Nossa o divergente está bem simples. Outra dica de que vamos de Gauss. Vem comigo!

Passo 2

O teorema do divergente diz que a gente pode calcular essa integral pela relação:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = ∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Então a ideia é que a gente só precisa montar e calcular a integral da direita, para então achar o valor da esquerda. Maneiro, né?

Maaas a gente precisa atender a alguns critérios para podermos aplicar esse teorema:

1. Nossa superfície precisa ser fechada. Mas repara que S é fechada sim. Ela é um cilindro. A base é o plano x = - 1 e a tampa o plano x = 2 . Você pode conferir isso fazendo um esboço dessa superfície, se quiser:

2. A superfície precisa estar orientada positivamente. E o que é isso? O vetor normal a ela deve sempre apontar para o lado de fora.

O que a gente pode fazer aqui é considerar que o vetor para a nossa integral de superfície está de fato apontando para fora dela.

3. O campo e suas derivadas precisam estar bem definidos para o domínio de integração. Olha ele:

F x , y , z = 3 x y 2 , x e z , z 3

Não tem nenhum ponto de descontinuidade aí né (nenhum denominador que possa zerar ou algo assim).

Então a gente pode confiar que ele está bem definido para o nosso domínio de integração, já que ele está bem definido para todos os valores de x , y , z e suas derivadas também são assim.

Então, tá belezinha, a gente pode usar o teorema sem preocupações. Bora lá!

Passo 3

Vamos montar nossa integral tripla lindona:

∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Começando por d i v   F . Esse cara é o divergente do nosso campo. Já temos ele

d i v   F = 3 y 2 + z 2

Nossa integral fica:

∫ ∫ ∫ W 3 y 2 + z 2 d V

Passo 4

A gente tem que descrever o domínio W , que é essa região com formato de cilindro né? Como ela tem esse formato, nada mais justo que a gente fazer isso usando a mudança de coordenadas cilíndricas.

Mas repara que as bases do nosso cilindro são planos em x . Por isso a gente vai deixar x = x , em vez de z = z .

Então a gente vai usar as coordenadas cilíndricas modificadas. Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:

y = r cos ⁡ θ ,     z = r   s e n   θ ,     x = x

z 2 + y 2 = r 2

j a c = r

Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: x ,   θ e r .

Vamos começar observando a variável x . Nesse eixo, vemos que nossa região está entre o plano x = - 1 e o plano x = 2 . Então podemos escrever:

- 1 ≤ x ≤ 2

Passo 5

E θ e r ? Definir elas é parecido com definir uma região em y z por coordenadas polares. A gente viu que estamos dentro do cilindro z 2 + y 2 = 1 , então podemos escrever isso em uma inequação:

z 2 + y 2 ≤ 1

Substituindo nossas transformações nessa inequação:

r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ ≤ 1 ∴ r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ ≤ 1

r 2 1 ≤ 1 ∴ r ≤ 1

E como não há mais restrições, podemos assumir que os dois começam de zero e que θ dá a volta completa:

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Belezinha?

Passo 6

Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:

y = r cos ⁡ θ ,     z = r   s e n   θ ,     x = x

z 2 + y 2 = r 2

∫ ∫ ∫ W 3 z 2 + y 2 d V

∫ ∫ ∫ W 3 r 2 d x d r d θ

Depois a gente multiplica o integrando por j a c = r

∫ ∫ ∫ V 3 r 3 d x d r d θ

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

- 1 ≤ x ≤ 2

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 3 r 3 d x d r d θ

Passo 7

Bora calcular essa belezura:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 3 r 3 d x d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r 3 2 - - 1 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 r 3 d r d θ =

= ∫ 0 2 π 9 4 r 4 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 9 4 d θ = 9 2 π

Lembra que resultado era esse que a gente queria? A integral de superfície né? E finalmente a gente pode dizer que:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = 9 2 π

Resposta

9 2 π

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