Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:

a) F → x ,   y ,   z = z + 1 k → e o sólido W limitado pelas superfícies z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .

Passo 1

Bem, sabemos que vamos resolver o problema pelo Teorema de Gauss, mas antes, o próprio enunciado nos pede para verificar o Teorema de Gauss, ou seja, verifica se podemos aplicar o Teorema:

1º - Precisamos de uma superfície fechada:

Se desenharmos W ...

Yes! A superfície é fechada.

2º - Não podemos ter singularidades na função Vetorial:

F → x ,   y ,   z = z + 1 k →

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - A terceira condição do Teorema nos exige a superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por elas:

Como o enunciado não nos disse nada sobre isso, sempre assumimos que isso está ocorrendo ;)

Passo 2

Condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ ∂ W   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F → d V

Ou seja, a integral o fluxo do campo sobre o bordo ∂ W da região W é a integral tripla do divergente. Teorema lindão, neh? Então se queremos calcular esse fluxo, basta calcular a integral tripla, bora?

Passo 3

Primeiro, calculemos o divergente desse campo:

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z

Como

F → x ,   y ,   z = z + 1 k → = F 1 i → +   F 2 j → +   F 3 k →

Calculando as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = 0

∂ F 2 ∂ y = 0

∂ F 2 ∂ z = 1

Logo...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z = 1

Logo a integral tripla que teremos que calcular é:

∬ ∂ W   F → ⋅ d S → = ∭ W     d V

Passo 4

Essa integral tripla que gerou é igual ao volume de W :

∭ W     d V = V W

Porém o sólido está dentro de um paraboloide, ou seja, essa informação pra gente não serve de muita coisa, neh? Então vamos resolver na marra mesmo, ou seja, primeiro descrever a região:

Como estamos falando de um pedaço de um paraboloide, podemos utilizar as mudanças para coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Onde o Jacobiano dessa mudança é:

J = r

E uma equação que nos ajuda muito é a equação do cilindro:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 5

Bem, não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:

Para encontrar a variação de r e θ , devemos olhar pra projeção do sólido no plano x y ...

Veja que essa projeção se parece muito pelo método gráfico com um círculo. Não podemos ficar no “se parece” neh? Devemos ter certeza, por isso vamos encontrar a equação dessa projeção.

Observe que ela é o encontro da equação do plano z = 0 com a equação do paraboloide: z = 1 - x 2 - y 2

0 = 1 - x 2 - y 2     →

x 2 + y 2 = 1

Veja que a intersecção de fato é uma circunferência de raio 1 , onde podemos concluir que o Raio r ...

0 ≤ r ≤ 1

E o ângulo θ ...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já variação do z , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:

Ou seja...

P l a n o   z = 0 ≤ z ≤ p a r a b o l o i d e →

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 + y 2 →

Agora, se estamos em coordenadas polares...

0 ≤ z ≤ 1 - r 2

Passo 6

Voltando então para a integral que devemos resolver:

∭ W   d V = ∭ W     d V =

Substituindo tudo...

∭ W     d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 J   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 r   d z d r d θ =

Calculando a integral de dentro...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r d θ =

Agora a do meio...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ =

1 2 2 - 1 4 4 ∫ 0 2 π d θ = π 2

Como pelo teorema de Gauss...

∬ ∂ W   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F → d V

Então o fluxo de F → é...

∬ ∂ W   F → ⋅ d S → = π 2

Resposta

π 2

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