Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja S ⊂ R 3 uma superfície fechada (isto é, com fronteira vazia), lisa por partes e orientada pela normal unitária exterior N → . Sejam R a região limitada por S e F → um campo de classe C 2 definido em um conjunto aberto contendo S e R . Considere as afirmações:

(I) O volume de R é igual a

1 3 ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

(II) ∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 0 .

(III) Se F → é gradiente, então

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 0 .

Podemos afirmar que:

a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

b) todas as afirmações são falsas.

c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

d) todas as afirmações são verdadeiras.

e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Passo 1

Vamos entender primeiro o que o enunciado quer nos dizer, beleza? Ele começa falando de S , uma superfície fechada, bonitinha, com vetor normal exterior. Isso lembra o que? O teorema de Gauss né? Nele a gente usa uma superfície dessas.

Aí ele fala de R , a região limitada por S . Cara, R é todo o espaço dentro de S . Isso que ele quis dizer.

E por fim ele fala de um campo F → bem definido no espaço onde temos R e S .  

Agora que a gente tem a visão geral das coisas, vamos entrar nos itens. Vem comigo!

Passo 2

(I) Ele diz que

V o l u m e   d e   R = 1 3 ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

Cara, ele está relacionando um volume com uma integral de superfície. Quem pode fazer isso para gente? Aquele teorema que relaciona uma integral tripla, tendo um volume como domínio, com uma integral de superfície, o teorema de Gauss!

E o que esse bonito diz:

∫ ∫ ∫ W d i v   F d V = ∫ ∫ S F ⋅ N d s

Sendo que S é a nossa região fechada e W o espaço dentro dessa região, que para nós se chama R , certo?

E esse F ali não vai ser o campo do passo anterior. É aquele campo que está nessa integral de superfície que estamos tentando descobrir se faz sentido ou não. Esse campo:

F = x , y , z

Vamos reescrever o teorema com nossos dados:

∫ ∫ ∫ R d i v   F d V = ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

Passo 3

O divergente d i v   F é calculado assim:

d i v   F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

E nosso campo desse item é:

F = F 1 , F 2 , F 3 = x , y , z

Aí a gente calcula:

d i v   F = ∂ ( x ) ∂ x + ∂ ( y ) ∂ y + ∂ ( z ) ∂ z = 1 + 1 + 1 = 3

E o teorema fica:

∫ ∫ ∫ R 3 d V = ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

3 ∫ ∫ ∫ R 1 d V = ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

Repara que a integral tripla em R com integrando 1 é o volume de R ! Então a gente pode escrever:

3 V o l u m e   d e   R = ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

V o l u m e   d e   R = 1 3 ∫ ∫ S x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x ∧ d y

Olha só! Isso era o que queríamos provar! Então essa afirmativa é verdadeira.

Passo 4

(II) Aqui a gente tem essa informação para analisar:

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 0

Cara, esse lado esquerdo é uma parte do teorema de Stokes. Ele diz que:

∫ ∫ S r o t   F ⋅ N → d s = ∮ δ S F ⋅ d r →

Sendo que esse lado direito do teorema é a integral de linha vetorial sobre a fronteira de S . Mas lembra que ele disse que S é uma superfície fechada? Ela não tem fronteira. Quando a gente aplica esse teorema em superfícies fechadas, dá isso:

∫ ∫ S r o t   F ⋅ N → d s = ∮ δ S F ⋅ d r → = 0

∫ ∫ S r o t   F ⋅ N → d s = 0

Então por causa desse teorema lindão a gente diz que essa é verdadeira também.

Passo 5

(III) Essa daí diz que se F → é gradiente, ou seja, r o t   F → = 0 → , temos que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 0

Cara, isso parece o teorema de Gauss também. Vamos trazer ele aqui de volta, mas falando desse campo F → mesmo (o do passo 1):

∫ ∫ ∫ R d i v   F → d V = ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

Já vimos que W = R . Repara que essa integral que queremos testar se é zero é exatamente a integral do teorema. Então, se a gente quer provar que:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 0

Podemos tentar provar que:

∫ ∫ ∫ R d i v   F → d V = ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 0

∫ ∫ ∫ R d i v   F → d V = 0

Concorda comigo que a única forma de zerar ela é se d i v   F → ? Mas será que isso acontece?

Passo 6

O que a gente sabe sobre F → ? Cara, ele é bem definido e o r o t   F → = 0 → .

Será que porque o rotacional é nulo, o divergente também vai ser? Vamos tentar pensar em um campo que tem rotacional nulo. Isso é o mesmo que criar um campo a partir de uma função potencial.

Se a nossa função potencial for, por exemplo:

f x , y , z = x 2 y 2 z 2

O campo que é igual ao gradiente dessa função é:

F → = f x , f y , f z = 2 x y 2 z 2 , 2 y x 2 z 2 , 2 z x 2 y 2

Ele tem r o t   F → nulo (por ter uma função potencial). Será que ele tem divergente nulo? Vamos ver:

d i v   F → = ∂ ( 2 x y 2 z 2 ) ∂ x + ∂ ( 2 y x 2 z 2 ) ∂ y + ∂ ( 2 z x 2 y 2 ) ∂ z

d i v   F → = 2 y 2 z 2 + 2 x 2 z 2 + 2 x 2 y 2

Ih olha só. Não deu zero. Isso quer dizer que:

∫ ∫ ∫ R d i v   F → d V ≠ 0

O que mostra que essa afirmação é falsa. ☹

Obs: Repara que a gente escolheu uma função não linear para ser a nossa função potencial, assim a gente teria derivadas de ordem superior não nulas. Daí que vem esse contra-exemplo.

Resposta

Letra e

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