Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Questão 3: Considere o campo vetorial F → x ,   y ,   z = 2 x ,   2 y ,   z no sólido W limitado por z = 2 x 2 + y 2 e z = 8 .

  1. Parametrize as duas partes das superfícies que delimitam este sólido.
  2. Usando as parametrizações do item anterior, calcule o fluxo de F → através ∂ W (isto é, calcule sem usar o Teorema de Gauss).
  3. Calcule o divergente do campo F → e use o Teorema de Gauss para verificar o resultado do item anterior (isto é, calcule novamente o fluxo usando o Teorema de Gauss).

Passo 1

Item I)

Pois bem, vamos começar desenhando a superfície S desse sólido W :

Então repare que o sólido está no interior desse bombom de cabeça para baixo !

Passo 2

Como o sólido é delimitado por duas superfícies que tem o z explicitamente em função dos parâmetros, podemos fazer duas parametrizações explícitas:

No caso do paraboloide, qualquer ponto σ 1 dele pode ser obtido dado um x e um y :

σ 1 x ,   y = x ,   y ,   z   →

Onde z = 2 x 2 + y 2 :

σ 1 x ,   y = x ,   y ,   2 x 2 + y 2

No caso, os parâmetros x e y estão limitados pelo plano z = 8 , então:

z = 2 x 2 + y 2             →             8 = 2 x 2 + y 2           →

x 2 + y 2 = 4

Um círculo de raio 2 :

Passo 3

Agora, no caso do plano z = 8 , também temos uma parametrização bem semelhante, pois podemos encontrar todos os pontos σ 2 do plano assim:

σ 2 x ,   y = x ,   y ,   z   →

σ 2 x ,   y = x ,   y ,   8

Onde o x e o y também estão delimitados pelo círculo de raio 2 , devido a intersecção com o paraboloide:

Passo 4

Item II)

O fluxo de um campo F → em uma superfície S é dado por uma integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n → d S

Como a superfície S é formada pelo paraboloide P a e pelo plano P l :

∬ S   F → ⋅ n → d S = ∬ P a   F → ⋅ n → d S + ∬ P l   F → ⋅ n → d S

Vamos, então, calcular cada uma dessas integrais de superfícies e resolver o nosso problema !

Passo 5

Começando com...

∬ P a   F → ⋅ n → d S

Primeiro devemos parametrizar a superfície do Paraboloide, que por sorte já está feito:

σ 1 x ,   y = x ,   y ,   2 x 2 + y 2        

  c o m   x   e   y   p e r t e n c e n d o   a o   d i s c o   d e   r a i o   2 .

Segundo, devemos calcular o termo n → d S :

n → d S = N → d x d y

Onde N → , dado z = 2 x 2 + y 2 , é dado por:

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 =

- 4 x ,   - 4 y ,   1

Considerando o vetor Normal para baixo (saindo):

n → d S = 4 x ,   4 y ,   - 1 d x d y

Terceiro, substituindo o campo F → :

F → x ,   y ,   z = 2 x ,   2 y ,   z         →

F → σ 1 x ,   y = 2 x ,   2 y ,   2 x 2 + y 2

Logo, substituindo tudo na integral de superfície:

∬ P a   F → ⋅ n → d S = ∬ R   2 x ,   2 y ,   2 x 2 + y 2 ⋅ 4 x ,   4 y ,   - 1   d x d y =

Esse R , é porque agora estamos integrando no domínio de x y :

∬ R   8 x 2 + 8 y 2 -   2 x 2 + y 2   d x d y = ∬ R   8 x 2 + 8 y 2 - 2 x 2 - 2 y 2   d x d y =

6 ∬ R   x 2 + y 2   d x d y

ORA! Se estivermos trabalhando com uma região circular, é útil trabalhar com as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

J = r

E os limites do raio e do ângulo θ dependem da região R :

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

6 ∬ R   x 2 + y 2   d x d y = 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 ⋅ J   d r d θ =

6 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3   d r d θ = 6 ∫ 0 2 π r 4 4 0 2 d θ =

6 2 4 4 ∫ 0 2 π d θ = 24 2 π = 48 π

Passo 6

Agora vamos calcular

∬ P l   F → ⋅ n → d S

Novamente, primeiro a parametrização:

σ 2 x ,   y = x ,   y ,   8

c o m   x   e   y   p e r t e n c e n d o   a o   d i s c o   d e   r a i o   2 .

Segundo, o termo n → d S :

n → d S = N → d x d y

Onde N → , dado z = 8 :

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 =

0 ,   0 ,   1

Considerando o vetor Normal para cima (saindo):

n → d S = 0 ,   0 ,   1 d x d y

Terceiro, substituindo o campo F → :

F → x ,   y ,   z = 2 x ,   2 y ,   z         →

F → σ 2 x ,   y = 2 x ,   2 y ,   8

Logo, substituindo tudo na integral de superfície:

∬ P a   F → ⋅ n → d S = ∬ R   2 x ,   2 y ,   8 ⋅ 0 ,   0 ,   1   d x d y =

∬ R   8   d x d y = 8 ⋅ Á r e a R =

Como a região R é um círculo de raio 2 ...

8 ⋅ π 2 2 = 32 π

Passo 7

Concluímos então que o fluxo através da superfície S é:

∬ S   F → ⋅ n → d S = ∬ P a   F → ⋅ n → d S + ∬ P l   F → ⋅ n → d S       →

∬ S   F → ⋅ n → d S = 48 π + 32 π     →

∬ S   F → ⋅ n → d S = 80 π

Passo 8

Item III)

Seguindo o enunciado, vamos calcular o divergente primeiro:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z   →

F → x ,   y ,   z = 2 x ,   2 y ,   z

Então:

d i v F → = 2 + 2 + 1   →

d i v F → = 5

Então, pelo Teorema de Gauss:

∬ S   F → ⋅ n → d S = ∭ W   d i v F → d V

Como o sólido W é limitado e pela superfície S fechada, o campo F → não tem nenhuma singularidade, e ainda considerando os vetores para fora de W , podemos aplicar a igualdade de Gauss sem problemas !

Ora, para calcular essa integral tripla, precisamos descrever o sólido W :

Podemos adotar para isso as coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

x 2 + y 2 = r 2

J = r

Para a variação de r e θ , já comentamos anteriormente que eles variam na projeção R do sólido no plano x y :

Portanto:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto o z ...

P a r a b o l o i d e ≤ z ≤ P l a n o     →

Onde o paraboloide é z = 2 x 2 + y 2 enquanto que o plano é z = 8 :

2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 8   →

2 r 2 ≤ z ≤ 8  

Então, substituindo tudo e não se esquecendo das coordenadas polares...

∭ W   d i v F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 2 r 2 8 5 ⋅ J   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 2 r 2 8 5 r   d z d r d θ

Integrando então...

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 2 r 2 8 5 r   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 5 r ∫ 2 r 2 8   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 2 5 r 8 - 2 r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 40 r - 10 r 3 d r d θ =

∫ 0 2 π 40 r 2 2 - 10 r 4 4 0 2 d θ = ∫ 0 2 π 40 2 2 2 - 10 2 4 4 0 2 d θ =

∫ 0 2 π 80 - 40   d θ = ∫ 0 2 π 40   d θ =

80 π

Resposta

Item I)

σ 1 x ,   y = x ,   y ,   2 x 2 + y 2       c o m   x   e   y   p e r t e n c e n d o   a o   d i s c o   d e   r a i o   2 .

σ 2 x ,   y = x ,   y ,   8     c o m   x   e   y   p e r t e n c e n d o   a o   d i s c o   d e   r a i o   2 .

Item II)

80 π

Item III)

80 π

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