Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Considere a superfície do cubo 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 1 orientada para fora e seja F x , y , z = x 2   , y 2 , z 2 .

  1. Usando o Teorma da Divergência, ache o fluxo de F através desta superfície.
  2. Verifique o resultado do item anterior calculando o fluxo pela definição.

Passo 1

Letra a)

Como a região limitada por S é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente (as normais apontam para fora) podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V

Onde W é o cubo descrito no problema.

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

F x , y , z = x 2   , y 2 , z 2

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 2 ( x + y + z )

Montando a integral

∬ S   F → . d s = 2 ∭ w   x + y + z   d x d y d z

Como W é um cubo, podemos escrever:

= 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y + z d x d y d z =

Isso nos dá

= 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 + x y + x z 0 1 d y d z =

= 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 2 + y + z d y d z =

= 2 ∫ 0 1 y 2 + y 2 2 + y z 0 1 d z =

= 2 ∫ 0 1 1 + z d z =

= 2 z + z 2 2 0 1 =

= 2 1 + 1 2 = 3

Passo 2

Letra b)

Agora, vamos calcular esse fluxo pela definição

∬ S   F . d S = ∬ S   F . n →   d S = ∬ D   F φ . ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v d u d v

Só que nós temos que repetir isso aí seis vezes, não é?! Para cada face do cubo.

É, não necessariamente, olha o seguinte:

Vamos calcular o fluxo em duas faces: no topo e na base do cubo, S 1 e S 2 . Parametrizando essas superfícies:

S 1 = x , y , 1

S 2 = x , y , 0

Usamos x e y como parâmetros porque esses planos são paralelos ao plano x y , z = 1 e z = 0 . Como o cubo tem lado 1 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Ok, agora vamos achar as normais, não precisa fazer produto vetorial nem nada, nós sabemos que essas normais são vetores paralelos ao eixo z , um apontando para cima e um para baixo:

n →   ' = 0,0 , 1

n →   ' = 0,0 , - 1

Agora, vamos montar as integrais, primeiro S 1 . Escrevendo F em função da parametrização:

F S 1 = x 2 , y 2 , 1

A integral fica

∬ S 1   F . d S = ∬ S 1   x 2 , y 2 , 1 . 0,0 , 1 d S = ∬ S 1   d S = Á r e a   S = 1

Como o cubo tem lado 1 , a área de cada uma de suas faces é 1 .

Ok, agora vamos para S 2 . Escrevendo F em função da parametrização:

F S 2 = x 2 , y 2 , 0

Levando para a integral

∬ S 2   F . d S = ∬ S 2   x 2 , y 2 , 0 . 0,0 , 1 d S = 0

Ok, e agora? Se você reparar, isso vai acontecer para os três pares de faces du cubo, uma integral sempre vai ser zero (por causa do produto escalar) e a outra sempre vai ser a área da face, que é 1 . Logo, temos algo assim:

∬ S   F → . d s = ∬ S 1   F → . d s + ∬ S 2   F → . d s + ∬ S 3   F → . d s + ∬ S 4   F → . d s + ∬ S 5   F → . d s + ∬ S 6   F → . d s

∬ S   F → . d s = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3

Resposta

3

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