Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Sejam f e g funções escalares definidas em R 3 de classe C 2 e seja S a superfície fronteira de uma região sólida E . Suponha que estamos nas condições do Teorema de Gauss.

Mostre que

∬ S f ∇ g ∙ n → d S = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g d V

Onde

∇ 2 g = ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 + ∂ 2 g ∂ z 2

Passo 1

Vamos entender o que ele está pedindo aí, o teorema de Gauss de uma função F através de uma superfície S nos diz que

∬ S F → ∙ n → d S = ∭ E d i v F → d V

Aplicando isso naquela integral de superfície devemos ter

∬ S f ∇ g ∙ n → d S = ∭ E d i v f ∇ g d V

Ele disse que essa integral vai ser

∭ E d i v f ∇ g d V = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g d V

Então basicamente o que ele quer é

d i v f ∇ g = f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g

Vamos calcular o lado esquerdo e o lado direito disso e ver se é igual

Passo 2

Vamos começar com o lado esquerdo

d i v f ∇ g

Lembrando que ∇ g é o gradiente temos

∇ g = g x , g y , g z

Então

f ∇ g = f g x , f g y , f g z

Fazendo o divergente disso vamos ter

d i v f ∇ g = ∂ ∂ x f g x + ∂ ∂ y f g y + ∂ ∂ z f g z

Aplicando a regra do produto vamos ter

d i v f ∇ g = ∂ ∂ x f g x + f ∂ ∂ x g x + ∂ ∂ y f g y + f ∂ ∂ y g y + ∂ ∂ z f g z + f ∂ ∂ z g z

Isso vai ficar

d i v f ∇ g = f x g x + f g x x + f y g y + f g y y + f z g z + f g z

Beleza, já temos o nosso lado esquerdo

Passo 3

Vamos agora calcular o lado direto daquela equação

f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g

Ele disse que

∇ 2 g = ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 + ∂ 2 g ∂ z 2

Ou seja, colocando na notação que usei ali em cima,

∇ 2 g = g x x + g y y + g z z

Os gradientes das funções vão ser

∇ f = f x , f y , f z

∇ g = g x , g y , g z

Vamos ter

f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g = f g x x + g y y + g z z + f x , f y , f z ∙ g x , g y , g z

⇒ f g x x + f g y y + f g z z + f x g x + f y g y + f z g z

Passo 4

-

Vamos comparar as duas coisas que achamos

O lado esquerdo ficou

f x g x + f g x x + f y g y + f g y y + f z g z + f g z

E o lado direito ficou

f g x x + f g y y + f g z z + f x g x + f y g y + f z g z

Repara que eles são iguais, então de fato temos

d i v f ∇ g = f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g

E está mostrado o que ele pediu.

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