(Capítulo 16.9 – Exercício 18) Seja F → x , y , z = z t g - 1 y 2 i → + z 3 l n l n   x 2 + 1   j → + z k → . Determine o fluxo de F → através da parte do paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 e tem orientação descendente.

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Para calcular o fluxo através dessa superfície teríamos que pegar uma parametrização mega chatinha e a cara desse campo não ajuda muita coisa hahaha.

Então, pra fazer essa integral vamos usar a seguinte estratégia:

O Teorema do Divergente, também chamado Teorema de Gauss, estabelece uma relação entre a integral (derivada) do divergente de um campo vetorial F → sobre uma região com a integral de F → sobre a fronteira da região.

∯ F → ⋅ d S → = ∭ ∇ F → d V

Só que o enunciado nos deu uma superfície aberta que é o paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 para z > 1 (acima do plano z = 1 ).

Para fechar a superfície parece que é mais simples pegar a parábola que está no plano z = 1 . Assim a nossa igualdade fica

∫ p a r a b o l o i d e F → d S → + ∫ p a r a b o l a F → d S → = ∭ ∇ F → d V

Então o que o enunciado pede é dado por

I = ∭ ∇ F → d V - ∫ p a r a b o l a F → d S →

Então temos que calcular essas duas coisas.

Passo 2

Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x z t g - 1 y 2   + ∂ ∂ y z 3 l n l n   x 2 + 1   + ∂ ∂ z z = 1

Certo? Agora vamos ver a região de integração!

Passo 3

A região de integração é um paraboloide:

{ z = 2 - x 2 - y 2   z = 1  

Em coordenadas cilíndricas temos:

{ x = r c o s θ   y = r s e n θ   z = z  

Então

{ z = 2 - r 2   z = 1  

No topo do paraboloide o raio da seção reta é nulo e na sua base (acima do plano z = 1 ) o raio é 1 = 2 - r 2 → r = 1 .

Assim, os limites de integração vão ser:

{ 0 ≤ r ≤ 1   0 ≤ θ ≤ 2 π   1 ≤ z ≤ 2 - r 2  

E o diferencial de volume vai ser d V = r d z d r d θ

Agora é só montar e fazer a integral!

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 2 - r 2 1 r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 1 4 ∫ 0 2 π d θ = 1 4 . 2 π = π 2

Passo 4

Agora vamos olhar a segunda integral

∫ p a r a b o l a F → ⋅ d S →

Na parábola que está no plano z = 1 . Fazendo z = 1 na equação do paraboloide

x 2 + y 2 + z = 2 → x 2 + y 2 + 1 = 2

x 2 + y 2 = 1

Que é uma circunferência de raio 1 !

O vetor d S → é dado por

d S → = - d S k ^

Que aponta na direção - k ^ por que tem que apontar para fora da região.

Já o vetor F → em z = 1 é dado por

F → z = 1 = t g - 1 y 2 i → + l n l n   x 2 + 1   j → + k →

Assim o produto escalar é dado por F → ⋅ d S → é dado por

F → ⋅ d S → = t g - 1 y 2 i → + l n l n   x 2 + 1   j → + k → ⋅ - d S k ^ = - d S

Ficou bem maiiiiss simples, não foi?!

A nossa integral então vai ser do tipo:

∫ p a r a b o l a F → ⋅ d S → = - ∫ x 2 + y 2 ≤ 1 d S = - π 1 2 = - π

Passo 5

Juntando tudo então:

I = ∭ ∇ F → d V - ∫ p a r a b o l a F → d S → = π 2 -   ( - π )

I = 3 π 2

O que achou?

Pra essa questão é isso, pessoal! Bora resolver mais uma?

Resposta

I = 3 π 2

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