Sejam X → : R 3 → R 3 um campo vetorial de classe C 1 e p ∈ R 3 . Considere as seguintes afirmações, nas quais S p , r denota a esfera de centro p e raio r orientada pela normal exterior n → , e B p , r a bola fechada de centro p e raio r .

(I) Se d i v   X → p = 0 , existe r > 0 tal que ∬ S X → ⋅ n → d σ = 0 .

(II) Se d i v   X → p > 0 , existe r > 0 tal que ∬ S X → ⋅ n → d σ > 0 .

(III) Se d i v   X → p > 0 , para todo r > 0 , tem-se ∬ S X → ⋅ n → d σ > 0 .

São verdadeiras, apenas: (Escolha uma)

a) Nenhuma

b) Todas

c) II e III

d) I

e) II

Passo 1

Cara, vamos entender o que ele está nos dizendo.

- temos o campo X → , ele tem 3 componentes. E é de classe C 1 , ou seja, todas as suas derivadas de primeira ordem existem e são contínuas.

- temos a esfera S p , r que é uma superfície fechada (por ser uma esfera) com vetor normal exterior, ela tem raio r e centro em no ponto p .

- temos a região B p , r que é a região dentro da esfera.

A gente tem essas coisas. Vamos começar a analisar as afirmativas!

Passo 2

(I) Ele diz que se d i v   X → p = 0 , ou seja, se no ponto p , o divergente vale zero, para algum valor de r positivo, podemos ter que

∬ S X → ⋅ n → d σ = 0

Cara, ele está relacionando a integral de superfície, de uma superfície fechada, com vetor normal exterior em um campo de classe C 1 , ao divergente. Quem a gente pode usar para resolver essa? O teorema de Gauss!

Gauss diz que:

∫ ∫ ∫ W d i v   X → d V = ∫ ∫ S X → ⋅ n → d s

Sendo W a região dentro de uma superfície fechada S , ou seja, S é a nossa esfera e W , a região dentro dela.

∫ ∫ ∫ B ( p , r ) d i v   X → d V = ∫ ∫ S ( p , r ) X → ⋅ n → d s

Para esse lado direito zerar, temos que o lado esquerdo deve zerar, e isso só acontece se a integral tripla zerar.

Mas repara, que para essa integral zerar, temos duas situações possíveis:

- ou d i v   X → = 0 , para todos os pontos.

- ou a soma de d i v   X → de todos os pontos dentro de B dá zero.

Maaas, a afirmativa só diz que o divergente é zero no ponto p , não temos informações sobre os outros pontos dentro da esfera, então não podemos dizer que estamos em algumas dessas duas situações acima.

Logo, a gente não pode afirmar com certeza que a integral vai zerar para algum valor de r . Essa vai ser falsa.

Passo 3

(II) Ele diz que se no ponto p , o divergente de X → for positivo, então existe algum valor de r que faça a integral de superfície

∬ S X → ⋅ n → d σ

Também ser positiva. Vamos usar Gauss de novo aqui. Repara:

∫ ∫ ∫ B ( p , r ) d i v   X → d V = ∫ ∫ S ( p , r ) X → ⋅ n → d s

Para esse lado direito ser positivo, temos que o lado esquerdo deve ser também. Mas repara, que para essa integral ser positiva, temos duas situações possíveis:

- ou d i v   X → ≥ 0 , para todos os pontos, e aí, para qualquer valor de r , ou seja, para qualquer tamanho de esfera, a soma do divergente em todos os pontos dentro da esfera vai ser positiva.

- ou a soma de d i v   X → de todos os pontos dentro de uma esfera de um raio adequado, dá um número positivo.

Como a gente só tem a informação de um ponto, não podemos afirmar que a primeira é verdade. Mas e a segunda?

Passo 4

Cara, vamos lembrar da definição de divergente:

d i v   X → = ∂ X 1 ∂ x + ∂ X 2 ∂ y + ∂ X 3 ∂ z

Ele vai ser uma função escalar. E como nosso campo é de classe C 1 (tem todas as derivadas de primeira ordem contínuas), a soma dessas derivadas também vai ser uma função contínua.

Isso nos diz que d i v   X → vai ser uma função contínua com domínio em x , y , z , no espaço 3D.

Agora pensa comigo, se num ponto, essa função contínua é positiva, nos pontos próximos, ela também vai ser positiva. Isso acontece com uma função com domínio só em x , por exemplo:

Repara, que a soma de pontos que essa função assume quando estamos próximos de A , vai ser um número positivo.

Mas se a gente pegar um intervalo muito grande, com números mais distantes de A , vamos ter pontos onde a função assume valores negativos também, fazendo com que a soma possa dar um número negativo.

Acontece algo análogo para funções com domínio em x , y , z , para pontos próximos de um ponto onde ela assume um valor positivo, ela vai também assumir valores positivos.

Então, se a gente posicionar uma esfera, com um raio r pequeno o suficiente para englobar a região onde ela assume só valores positivos (ou majoritariamente, valores positivos), a integral tripla vai ser positiva.

O que faz com que, para valores adequados de r , tenhamos

∬ S X → ⋅ n → d σ > 0

Então essa é verdadeira.

Passo 5

(III) Cara, aqui ele tá dizendo que se o divergente no centro da esfera for positivo, então, para qualquer r , teremos a integral de superfície positiva.

Estamos com a situação parecida com a anterior:

∫ ∫ ∫ B ( p , r ) d i v   X → d V = ∫ ∫ S ( p , r ) X → ⋅ n → d s

Mas aqui, para o lado direito ser sempre positivo para qualquer valor de r (para esferas de qualquer tamanho), temos que todos os valores que d i v   X → assume precisam ser positivos.

Só que não temos certeza se isso acontece. A gente só sabe que ele é positivo em um ponto. Logo, essa vai ser falsa.

Resposta

Letra e

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