Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Considere o campo de vetores F x , y , z = x 3 y ,   - x 2 z 2 ,   - x 2 y z e a superfície S definida pelo hemisfério x 2 + y 2 - z 2 = 1 e pelos planos z = - 1   e   z = 2 . Use o teorema da Divergência para calcular o fluxo

∬ S F .   n →   d S

de F ao longo de S. Lembre que n → é o campo normal (exterior) unitário de S.

Passo 1

Para começar vamos entender a região que estamos trabalhando, tudo bem?

Bom, pelo teorema, precisamos ter uma superfície fechada. Como é possível ver pela figura acim,a isso pra gente não vai ser um problema.

Temos que ter ainda a orientação positiva e o campp sem singularidades. O campo que estamos trabalhando é o F x , y , z = x 3 y ,   - x 2 z 2 ,   - x 2 y z , o que não tem problema nenhum.

Passo 2

Com tudo isso conferido, podemos finalmente partir para nosso teorema, que nos da:

Onde nesse caso, ∂ W = S .

Podemos entçao calcular a integral tripla. Vamos começar pelo divergente.

Passo 3

F x , y , z = x 3 y ,   - x 2 z 2 ,   - x 2 y z

∂ F 1 ∂ x = 3 x 2

∂ F 2 ∂ y = 0

∂ F 3 ∂ z = - x 2 y

Logo,

d i v F = 3 x 2 y - x 2 y

d i v F = 2 x 2 y

Passo 4

Então montando a integral teremos:

∭ V 2 x 2 y   d V

Vamos então agora precisar escrever os parâmetros de variação. Pra essa questão o melhor pe fazer uma substituição para coordenadas cilíndricas:

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ

z = z

J = r

Pela imagem percebemos que o θ   varia entre   0   e   2 π , no entanto precisamos ainda descobrir a variação do r. Para isso, substituímos os valores de x e y dentro da superfície.

x 2 + y 2 - z 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ - z 2 = 1

r 2 = 1 + z 2

r = 1 + z 2

Bom, com isso vemos que r varia entre 0 e 1 + z 2 .

Passo 5

Montando e resolvendo a integral ficamos com (sem esquecer de escrever o campo em função da mudança de coordenadas):

∭ V 2 x 2 y   d V

∫ 0 2 π ∫ - 1 2 ∫ 0 1 + z 2 2   r 2 cos 2 ⁡ ( θ )   r   s e n θ   r   d r d z d θ

∫ 0 2 π ∫ - 1 2 ∫ 0 1 + z 2 2   r 4 cos 2 ⁡ θ   s e n θ d r d z d θ

∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ θ s e n θ   d θ   ∫ - 1 2 ∫ 0 1 + z 2 r 2 d r   d z  

Resolvendo primeiro a integral de fora

u = c o s ⁡ ( θ )

d u = - s e n θ d θ

d θ = - d u s e n θ

Voltando pra integral ficamso com:

∫ - 2 u   d u

- u 2

- cos 2 ⁡ θ | 2 π 0

= 0

A partir disso nós já ficamos com:

∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ θ s e n θ   d θ   ∫ - 2 2 ∫ 0 1 + z 2 r 2 d r   d z =  

0 ∫ - 1 2 ∫ 0 1 + z 2 r 2 d r   d z   =

= 0

Resposta

0

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