Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja V → um campo vetorial de classe C 1 em R 3 e S a superfície que delimita um paralelepípedo retangular cheio E , orientada pela normal unitária exterior n → . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se R o t V → = 0 e V → = R o t U → para algum campo vetorial U → de classe C 2 em todo E , então existe um campo escalar φ tal que ∇ φ é diferenciável, V → = ∇ φ e d i v ∇ φ = 0 em todo E.
  2. Se R o t V → = 0 e V → = R o t U → para um campo vetorial U → de classe C 2 em todo E , então a integral de superfície ∬ S R o t U → ⋅ n → d S = 1 .
  3. Se V → fosse o campo V → x , y , z = x , y , z então o volume de E seria igual a 1 3 ∬ S V → ⋅ n → d S .

Podemos afirmar que:

Escolha uma:

  1. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
  3. Todas as afirmações são verdadeiras.
  4. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
  5. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

Essa primeira informação trás tanta informação que temos que começar a digerir com muito cuidado. Primeiro, temos que R o t V → = 0 . Como o rotacional do campo V → é o vetor nulo, podemos afirmar que este campo é conservativo.

Por definição, sabemos que um campo vetorial V → é conservativo quando existe um campo escalar f (vamos chamar aqui de φ , bem conveniente né) tal que V → = ∇ φ . Em especial, dizemos que o campo escalar φ é a função potencial para V → .

Estão começando a perceber a relação aqui? Já provamos a primeira parte da questão, que é dizer que existe um campo escalar φ tal que ∇ φ é diferenciável e V → = ∇ φ .

Agora vamos para a segunda parte, provar que d i v ∇ φ = 0 . Para isto, vejamos que:

d i v ∇ φ = d i v V → = d i v R o t U → = 0

Vamos responder a relação acima verificando o divergente do rotacional de U → . Como este campo vetorial é de classe C 2 , portanto, possui derivadas parciais de segunda ordem contínua, temos um Teorema que afirma que

d i v R o t U → = 0

Como consequência do Teorema de Clairaut (tanto faz a ordem das derivadas parciais).

Portanto, a afirmação I realmente é verdadeira!

Passo 2

Agora vamos para a afirmação II agora. Precisamos analisar agora a seguinte integral:

∬ S R o t U → ⋅ n → d S

Sendo S a superfície orientada positivamente que delimita o sólido E .

Como o campo vetorial V → = R o t U → possui derivadas parciais contínuas (classe C 1 ), e a nossa superfície S é orientada positivamente e delimita uma região E sólida, podemos utilizar o Teorema do divergente.

Este teorema nos diz que:

∬ S R o t U → ⋅ n → d S = ∭ E d i v R o t U → d V

Como no final do Passo 1 checamos que d i v R o t U → = 0 , então, nossa integral tripla se transforma em:

∭ E d i v R o t U → d V = ∭ E 0 d V = 0 ≠ 1

Então, a afirmação II é falsa!

Passo 3

Por fim, temos a afirmação III. Ela nos pede para verificar se, dado V → x , y , z = x , y , z , então o volume de E seria igual a 1 3 ∬ S V → ⋅ n → d S se

A sacada aqui é utilizar novamente o Teorema da divergência. Percebam que o campo vetorial V → satisfaz os critérios de derivadas parciais contínuas para aplicarmos este Teorema (a superfície e o espaço foram discutidos no Passo 2).

Portanto, podemos aplicar este Teorema. Sendo assim, vamos começar calcular o divergente em si. Logo,

d i v V → = ∇ ⋅ V → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ x , y , z

d i v V → = ∂ ∂ x x + ∂ ∂ y y + ∂ ∂ z z = 1 + 1 + 1 = 3

Aplicando então o nosso Teorema, teremos a seguinte integral:

1 3 ∬ S V → ⋅ n → d S = 1 3 ∭ E d i v V → d V

1 3 ∬ S V → ⋅ n → d S = 1 3 ∭ E 3 d V

1 3 ∬ S V → ⋅ n → d S = ∭ E d V = V

Portanto, como temos a integral tripla da unidade, a integral do campo V → acima realmente é igual ao volume do sólido E ! Com isto, concluímos que a afirmação III é verdadeira.

E por fim, apenas as afirmações I e III são verdadeiras (letra b)!

Resposta

Apenas as afirmações I e III são verdadeiras (letra b).

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