Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

2) Seja F → x ,   y ,   z = 6 x i → - 2 y j → + 5 z k → . Seja S a superfície da esfera com centro 1 ,   0 ,   1 e raio 5 . Ache o fluxo de F → de dentro para fora de S .

Passo 1

Se o problema nos pediu fluxo de F → sobre uma superfície S , com toda certeza o que ele está buscando é que façamos uma integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ d S →

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Normalmente o Teorema de Gauss é mais fácil e mais rápido, mas a princípio não temos como garantir que método é mais fácil. Mas uma boa dica de qual caminho tomar é sempre calculando o divergente:

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z

Como

F → x ,   y ,   z = 6 x i → - 2 y j → + 5 z k → = F 1 i → +   F 2 j → +   F 3 k →

Calculando as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = 6

∂ F 2 ∂ y = - 2

∂ F 2 ∂ z = 5

Logo...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z = 9

Pow, com um divergente desses... Sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

∬ S   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada S delimitando o sólido W :

Se desenharmos S como o problema nos sugeriu, ou seja, uma esfera de raio 5 deslocada:

Yes! A superfície é fechada.

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F → x ,   y ,   z = 6 x i → - 2 y j → + 5 z k →

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado:

Passo 3

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

∬ S   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho, acredita em mim!

Passo 4

∭ W   d i v   F →   d V = ∭ W   9   d V =

9 ∭ W     d V

Bem, quem é a integral de um d V ? Sim! Você já sabe que é o volume de um sólido...

9 ∭ W     d V = 9 ⋅ V o l W

Como W é uma esfera de raio 5 ...

9 ∭ W     d V = 9 4 3 π 5 3 =

12 π 125 = 1500 π

Então pela igualdade de Gauss concluímos sem ter que calcular uma integral de superfície que o fluxo é...

∬ S   F → ⋅ d S → = 1500 π

Resposta

1500 π

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