Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Sejam F x , y , z = ( x , y , z ) um campo vetorial em R 3 e W uma pirâmide de vértices O ,   A ,   B ,   C , onde O = 0,0 , 0 ,   A = 0,1 , 0 ,   B = 0,0 , 1 e C = c , 1,0 ,   ( c > 0 ) . Calcule o valor de c sabendo que

∬ S W   F . n d S + ∬ S A B C   F . n d S = 1

Onde S W é a superfície da pirâmide W , S A B C   é a face de vértices A , B , C , e n é o campo de vetores normais apontando para fora da pirâmide.

Passo 1

Vamos fazer um desenho disso aqui rapidinho para entender melhor. Nós só conhecemos 3 dos 4 vértices da pirâmide: A , B e O . Unindo esses pontos, temos esses segmentos em vermelho na figura abaixo.

Sobre o terceiro vértice, C , nós só sabemos que se encontra no plano z = 0 , vamos desenhar um ponto qualquer desse tipo:

A parte que “conhecemos” da pirâmide está em vermelho e a que não conhecemos está em azul.

Passo 2

O problema nos diz então que a integral de superfície de F sobre a superfície da pirâmide, S w somada à integral sobre a face A B C (em vermelho) é igual a 1 :

∬ S W   F . n d S + ∬ S A B C   F . n d S = 1

Vamos então calcular isso aí e tirar o valor de c , ok?

Vamos começar pela integral na face A B C . Podemos parametrizá-la como:

S A B C = ( 0 , y , z )

Isso porque a superfície pertence ao plano x = 0 . Os parâmetros y e z , nós tiramos da projeção da superfície no plano y z , que, no caso, é o próprio triângulo.

Podemos dizer que z varia entre z = 0 e a reta inclinada que liga os pontos ( 0,0 , 1 ) e ( 0,1 , 0 ) , ou seja, a reta z = - y + 1 . Portanto, 0 ≤ z ≤ - y + 1 .

Pela própria figura, vemos que 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 3

Agora nós calculamos a normal

∂ S A B C ∂ y = 0,1 , 0

∂ S A B C ∂ z = 0,0 , 1

∂ S A B C ∂ y × ∂ S A B C ∂ z = i j k 0 1 0 0 0 1 = 1,0 , 0

Porém, como o problema diz que a normal aponta para fora da pirâmide, queremos o vetor oposto a esse:

∂ S A B C ∂ z × ∂ S A B C ∂ y = ( - 1,0 , 0 )

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula:

∬ S A B C   F . n d S = ∬ D   F S A B C . ∂ S A B C ∂ z × ∂ S A B C ∂ y d y d z

Escrevendo o campo nas variáveis da parametrização:

F ( S A B C ) = ( 0 , y , z )

Trazendo os valores que temos para a integral:

= ∫ 0 1 ∫ 0 - y + 1 0 , y , z . - 1,0 , 0 d z d y = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular a outra integral de superfície. Bem, como se tratam de muitas superfícies, vale à pena usar o Teorema de Gauss aqui.

Como a região limitada por S W é fechada, sendo S W orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S W   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V

Passo 6

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

F → x , y , z = ( x , y , z )

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 7

Agora vamos montar a integral

∬ S W   F → . d s = 3 ∭ w     d x d y d z = 3   V o l u m e ( W )

Onde W é o volume que vimos no passo 1.

Lembra da fórmula do volume de um pirâmide? É o seguinte:

V p i r â m i d e = 1 3 á r e a   d a   b a s e   × a l t u r a

Beleza? Calcular a área da base é tranquilo, porque temos um triângulo retângulo:

A medida de um cateto é 1 (o vermelho) e a do outro é c (o azul), pois é a coordenada x do ponto C = ( c , 1,0 ) . Então:

á r e a   d a   b a s e = 1 × c 2 = c 2

A altura da pirâmide é igual a 1 , como podemos ver no desenho. Isso nos dá:

V p i r â m i d e = 1 3 × c 2 × 1 = c 6

Portanto

∬ S W   F → . d s = 3   V o l u m e W = c 2

Passo 8

Como

∬ S W   F . n d S + ∬ S A B C   F . n d S = 1

Temos

c 2 + 0 = 1

c = 2

Resposta

c = 2

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