Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo do campo vetorial

F x , y , z = z 2 x i + 1 3 y 3 + t g z j + x 2 z + y 2 k

através da superfície S :   x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 (a metade superior da esfera de raio 1 e centro na origem). Considere S orientada com o vetor normal unitário que aponta para cima (isto é, a terceira coordenada do vetor normal é positiva). (Sugestão: Usar o Teorema da Divergência)

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi pedido pra aplicarmos o teorema da divergência ou também podemos chamar de teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial F .

No caso F é dado por

F x , y , z = z 2 x i + 1 3 y 3 + t g z j + x 2 z + y 2 k

E a superfície que queremos analisar é dada pela equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 sendo que z ≥ 0 e o vetor normal é orientado para cima.

Ok, mas como fazemos isso?? 🤔🤔

O Teorema de Gauss nos diz que podemos reescrever a integral de F d s como

∬ S F · d s = ∭ V D i v F · d V

Já o divergente de F é dado por

D i v F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar pelo divergente de F

Se F = F 1 i + F 2 j + F 3 k , então

D i v F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

D i v F = ∂ z 2 x ∂ x + ∂ 1 3 y 3 + t g z ∂ y + ∂ x 2 z + y 2 ∂ z

Calculando as derivadas pelo método de derivação polinomial, temos

∂ z 2 x ∂ x = z 2 x 1 - 1 = z 2

∂ 1 3 y 3 + t g z ∂ y = 3 1 3 y 3 - 1 + 0 = y 2

∂ x 2 z + y 2 ∂ z = x 2 z 1 - 1 + 0 = x 2

Com isso, obtemos

D i v F = x 2 + y 2 + z 2

Substituindo na integral

∭ V x 2 + y 2 + z 2 d V

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Vamos dar uma olhada na nossa superfície S .

Ela é delimitada pela equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 para z ≥ 0 , ou seja, uma semiesfera de raio 1 .

Para coordenadas esféricas sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 onde ρ é o raio.

Convertendo nossa integral para coordenadas esféricas onde

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 J a c o b i a n o = ρ 2 s e n ϕ

∭ V ρ 2 ρ 2 s e n ϕ d V

E os limites de integração?

Como nossa superfície é uma semiesfera, temos

Se olharmos para aquela colinha de referência de ρ , ϕ e θ

Vemos que ϕ está variando de 0 a π / 2 , ρ está variando de 0 a 1 e θ está variando de 0 a 2 π .

Com isso, nossa integral será

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 4 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Agora só nos resta calcular essa integral.

Bora lá!

Passo 4

Integrando ρ 4 s e n ϕ com relação a ρ pelo método de integração polinomial

∫ ρ 4 s e n ϕ d ρ = ρ 4 + 1 4 + 1 s e n ϕ = ρ 5 5 s e n ϕ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 ρ 4 s e n ϕ d ρ = 1 5 5 s e n ϕ - 0 5 5 s e n ϕ

∫ 0 1 ρ 4 s e n ϕ d ρ = s e n ϕ 5

Com isso, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 s e n ϕ 5 d ϕ d θ

Integrando s e n ϕ 5 com relação a ϕ , sabemos que pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de s e n ϕ é igual a - cos ⁡ ϕ . Portanto

∫ s e n ϕ 5 d ϕ = - cos ⁡ ϕ 5

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 s e n ϕ 5 d ϕ = - cos ⁡ π 2 5 - - cos ⁡ 0 5 = - 0 5 - - 1 5

∫ 0 π 2 s e n ϕ 5 d ϕ = 1 5

Por fim, integramos 1 5 com relação a θ

Como 1 5 é uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ 1 5 d θ = 1 5 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 1 5 d θ = 1 5 2 π - 1 5 0 = 2 π 5

Portanto, vemos que a integral do fluxo do campo vetorial F através da superfície S é 2 π 5 .

∭ V D i v F · d V = 2 π 5

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∭ V D i v F · d V = 2 π 5

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