Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

(4) O fluxo do campo vetorial   F → = x ,   y ,   z através da superfície do sólido x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 , orientada com o vetor normal apontando para fora, é igual a:

  1. 4 π a b c
  2. 4 3 π a b c
  3. 2 π a b c
  4. 3
  5. 0

Passo 1

Montemos primeiro a integral que o problema quer que calculemos e como ele quer um fluxo de uma função vetorial sobre uma superfície, só pode ser uma integral de superfície no caso vetorial !

F l u x o = ∬ S   F → ⋅ n →   d S

Passo 2

Bem, repare que a superfície é um elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 :

Portanto fazer a integral de forma direta, embora funcione, dá trabalho! Por isso a ideia é tentar trabalhar com o famoso teorema de Gauss, que relaciona o fluxo, com uma integral tripla:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v   F → d V

Mas é claro, não podemos aplicar essa igualdade de qualquer modo. Precisamos estar nas condições de Gauss:

  1. Superfície S fechada delimitando o sólido W
  2. Campo sem singularidade onde estamos trabalhando
  3. Orientada positivamente

Será que essas condições estão sendo satisfeitas?

Passo 3

Vamos averiguar!

  1. Superfície S fechada delimitando o sólido W (confere )
  2. Afinal a superfície é o elipsoide e o sólido é o seu interior:

  3. Campo sem singularidade onde estamos trabalhando (confere )
  4. Pois o campo é bem simples e não tem nenhuma singularidade ( F → = x ,   y ,   z )

  5. Orientada positivamente (confere )

Pois o vetor norma está saindo do sólido!

Então podemos aplicar a igualdade para matar o nosso problema!

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v   F → d V

Passo 4

Para resolver a integral tripla, precisaremos do divergente calculado:

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Como o campo vetorial é F → = x ,   y ,   z = F 1 ,   F 2 ,   F 3 ...

d i v   F → = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z =

d i v   F → = 3

Logo, substituindo na integral...

F l u x o = ∭ W   3   d V =

3 ∭ W   d V

Epa! integral tripla de d V é o volume do sólido! Como o sólido é conhecido e é um elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , seu volume se calcula fazendo

V = 4 3 a b c   π

(semelhante o volume da esfera, mas no lugar de R 3 se tem esses caras, saca?)

Então o fluxo será...

F l u x o = 3 V =

3 4 3 a b c   π = 4 a b c π

Resposta

a )       4 π   a b c

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