Calcule Φ S F , onde F ( x , y , z ) = ( e z c o s ( y ) ) i → + ( y + s i n ( x z ) ) j → + k → e S é formada pelas faces (exceto pelo fundo) do tetraedro de vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

O enunciado nos pede para calcularmos o fluxo Φ S F , nos dando o campo vetorial

F ( x , y , z ) = ( e z c o s ( y ) ) i → + ( y + s i n ( x z ) ) j → + k →

e a superfície é dada pelo tetraedro de vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) . Para calcular o fluxo devemos resolver a seguinte integração

∫ ∫ S F ⋅ d S

Aqui em cima temos um campo vetorial complicado e uma superfície bastante simples! Isso é comum em problemas que usam o teorema de Gauss, que nos diz

∫ ∫ S F → ⋅ d S → = ∫ ∫ ∫ W d i v ( F → ) d V

Maravilha! Vamos tentar aplicar isso! Vem comigo!

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos calcular a divergência do nosso campo! Temos que o operador é definido como

d i v ( F → ) = ∇ → ⋅ F → = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

em que temos F → = ( F x , F y , F z ) = F x i → + F y j → + F z k → . Identificando que F x = e z x o s ( y ) , temos que a primeira derivada parcial é

∂ F x ∂ x = ∂ ∂ x [ e z c o s ( y ) ] = 0

já que derivadas parciais consideram tudo que não é a variável desejada como constante! Analogamente, temos que a segunda derivada é

∂ F y ∂ y = ∂ ∂ y [ y + s e n ( x z ) ] = 1

e, por último, temos que

∂ F z ∂ z = ∂ ∂ z [ 1 ] = 0

Portanto, temos que a divergência é tal que

d i v ( F → ) = 0 + 1 + 0 = 1

e, a integral se torna

∫ ∫ S F → ⋅ d S → = ∫ ∫ ∫ W ( 1 ) d V = ∫ ∫ ∫ W d V

Ótimo! Só precisamos ver quais são os limites de integração delimitados por nosso tetraedro!

Passo 3

O nosso tetraedro é o seguinte

Vamos ter que determinar limites de integração para cada variável, x y z . O primeiro é o mais simples, podemos escolher começar pelo eixo x , e dizer que ele tem obedece o seguinte intervalo

0 ≤ x ≤ 1

Faz sentido, certo? Agora os outros são um pouco mais chatos! Note que a partir de um ponto x qualquer no intervalo acima, temos que o valor de y , varia no intervalo

0 ≤ y ≤ r e t a   n o   p l a n o   x y

Precisamos achar essa reta!!! Vamos fazer isso!

Passo 4

A reta no plano x y , passa pelos seguintes pontos P 1 = ( 0,1 ) e P 2 = ( 1,0 ) , portanto, podemos usar a seguinte definição para a equação da reta

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

em que P = ( x 0 , y 0 ) é qualquer ponto que a reta cruze! O coeficiente angular é dado por

m = Δ y Δ x = 1 - 0 0 - 1

ou seja, temos que m = - 1 , e a equação da reta é dada por

y - 0 = - 1   ( x - 1 )

em que escolhi P 2 = P 0 , simplificando, temos que

y = 1 - x

Os limites de y são dados então por

0 ≤ y ≤ 1 - x

Ainda faltam os limites de z ! Vamos lá!

Passo 5

Agora, se pegarmos um ponto de coordenadas ( x , y ) qualquer no plano z = 0 e subirmos, iremos ver que os limites de z são dados por

0 ≤ z ≤   E q u a ç ã o   d e   u m   p l a n o   e m   x y z

Para achar esse plano precisamos lembrar a equação geral do plano como

a x + b y + c z + d = 0

em que n = ( a , b , c ) é um vetor normal ao plano, e d é obtido conhecendo um ponto que pertence ao plano! Como podemos obter o vetor normal? Fazendo o produto vetorial entre dois vetores que pertencem ao plano, como conhecemos três pontos pertencentes ao plano, podemos construir os dois vetores necessários! Consegue visualizar? Vem comigo!

Passo 6

Podemos definir um vetor como

V → 1 = P 1 P 2 → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 )

e, também

V → 2 = P 1 P 3 → = ( x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 )

Usando os vértices como os pontos

P 1 = ( 0,0 , 1 ) , P 2 = ( 0,1 , 0 ) e P 3 = ( 1,0 , 0 )

Temos que nossos dois vetores serão

V → 1 = ( 0 - 0,1 - 0,0 - 1 ) = ( 0,1 , - 1 )

e, também

V → 2 = ( 1 - 0,0 - 0,0 - 1 ) = ( 1,0 , - 1 )

usando a definição de produto vetorial, temos que

ou seja, nosso vetor normal é

n → = ( 1 ) ( - 1 ) i → + ( - 1 ) ( 1 ) j → + ( 0 ) ( 0 ) k → - ( 1 ) ( 1 ) k → - ( 0 ) ( - 1 ) j → - ( - 1 ) ( 0 ) i → = ( - 1 , - 1 , - 1 )

Maravilha! Vamos escrever a equação do plano!

Passo 7

Lembrando a equação geral do plano e usando nosso vetor normal, temos que

( - 1 ) x + ( - 1 ) y + ( - 1 ) z + d = 0

Portanto, temos que

- x - y - z + d = 0

podemos usar qualquer vértice para achar d , usando que P = ( 1,0 , 0 ) , temos

- 1 - 0 - 0 + d = 0

nos dá d = 1 , e a equação do plano será

z = - x - y + 1

E, portanto, os limites de integração em z são

0 ≤ z ≤ - x - y + 1

Finalmente! Vamos resolver nossa integral!

Passo 8

Usando os limites de integração temos que

∫ ∫ ∫ W d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 - x - y + 1 d z d y d x

A integral mais interna nos dá

∫ 0 - x - y + 1 d z = z | 0 - x - y + 1 = - x - y + 1

Portanto

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 x - y - 1 d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ - x - y + 1 ] d y d x = - ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x d y d x - ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x d y d x

Vamos resolver agora as integrais em y , temos que

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x d y d x = ∫ 0 1 x ∫ 0 1 - x d y d x = ∫ 0 1 x ( 1 - x ) d x

ou, usando a regrinha para identificar primitivas de polinômios, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y d y d x = 1 2 ∫ 0 1 ( 1 - x ) 2 d x

e, por último, temos

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x d y d x = ∫ 0 1 ( 1 - x ) d x

Uff… Respira um pouco! E, vamos agora resolver as integrais em x ! Saca só!

Passo 9

Somando os três resultados anteriores, temos que

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 x - y - 1 d z d y d x = - ∫ 0 1 x ( 1 - x ) d x - 1 2 ∫ 0 1 ( 1 - x ) 2 d x + ∫ 0 1 ( 1 - x ) d x

juntando tudo em uma só integral, temos que

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 x - y - 1 d z d y d x = ∫ 0 1 [ - x + x 2 - 1 2 [ ( - 2 x + x 2 ) + 1 - x ] d x = ∫ 0 1 [ 1 2 x 2 - x + 1 ] d x

usando novamente a regrinha do polinômio para integrais, temos que

∫ 0 1 [ 1 2 x 2 - x + 1 ] d x = 1 2 [ x 3 3 ] 0 1 - 1 2 x 2 | 0 1 + x | 0 1 = 1 6 - 1 2 + 1

ou, simplesmente

Φ S F = 1 / 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Φ S F = 1 / 2

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Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
(Divergente em coordenadas polares) Seja Ω um campo aberto no semiplano y0 e seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , x , y ∈ Ω , com PeQ de classe C 1 . Seja P 1 θ ,ρ = P x , y e Q 1 θ ,ρ = Q x ,