Calcule ∫ ∫ S d y ∧ d z + y 3 d z ∧ d x + z 2 d x ∧ d y , onde S está orientada pela normal exterior nos seguintes casos:

( b ) S é a fronteira da região limitada por z = 4 e z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S d y ∧ d z + y 3 d z ∧ d x + z 2 d x ∧ d y

Essa notação com produto exterior pode ser um pouco assustadora, então vamos considerar o seguinte formato equivalente

∫ ∫ S d y ∧ d z + y 3 d z ∧ d x + z 2 d x ∧ d y = ∫ ∫ S ( i → ⋅ n → ) d y d x   +   y 3 ( j → ⋅ n → ) d z   d x   + z 2 ( k → ⋅ n → ) d x d y

temos que a nossa superfície vai ser a região limitada por

z = 4 e z = x 2 + y 2

Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência de Gauss, já que o campo vetorial é meio chatinho! Temos que o teorema diz

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ ∫ ∫ V d i v ( v → ) d V

Muitas vezes é mais simples resolver a integral tripla do que calcular explicitamente a integral de superfície! Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular de cara a divergência do campo vetorial, temos por definição que

d i v ( v → ) = ∇ → ⋅ v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z

em que

v → = ( v x , v y , v z ) = ( 1 , y 3 , z 2 )

calculando as derivadas parciais e somando todos os termos, obtemos que a divergência tem a seguinte forma

d i v ( v → ) = [ 0 ] + [ 3 y 2 ] + [ 2 z ] = 3 y 2 + 2 z

bem mais simples não é? A nossa integral se torna então

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ ∫ ∫ V [ 3 y 2 + 2   z ] d x d y d z

Mas, e qual é a nossa região? Vamos trabalhar com ela um pouco!

Passo 3

O sólido pode ser representado pela seguinte figura

que é um parabolóide cortado por um plano! Desta forma, o mais conveniente é escrever tudo em coordenadas cilíndricas dadas por

x = r   c o s ( θ ) , y =   r   s e n ( θ ) e z = z

lembrando que em coordenadas cilíndricas temos d x d y d z = r   d r   d θ   d z . Note que 0 ≤ r ≤ 2 , uma vez que a intersecção do plano z = 4 com o parabolóide nos leva a circunferência

x 2 + y 2 = 4

temos também que 0 ≤ θ ≤ 2 π , que x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 , note pelo desenho que a variável z parte do parabolóide ao plano! Parece tudo simples até aí! Mas é preciso lembrar que o teorema de Gauss vale para superfícies fechadas, então, precisamos considerar as integrais de superfície através da tampa em z = 4 e pelo parabolóide, de forma que nossa integral se torna

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = ∫ ∫ S T v → ⋅ n T →   d S T + ∫ ∫ S P v → ⋅ n P →   d S P = ∫ ∫ ∫ x 2 + y 2 4 [ 3 y 2 + z ] d x d y d z

Note que ainda não mudei as coordenadas pois será conveniente integrar em z antes de realizar a mudança! Vamos lá!

Passo 4

Integrar em z primeiro é uma necessidade já que os limites dependem das outras variáveis, temos então que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ ∫ y 2 d x d y [ ∫ x 2 + y 2 4 d z ] + ∫ ∫ d x d y [ ∫ x 2 + y 2 4 z d z

Integrando usando a regrinha do polinômio para integrais, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ ∫ y 2 d x d y [ z ] | x 2 + y 2 4 + 1 2 ∫ ∫ d x d y [ z 2 ] | x 2 + y 2 4

Avaliando os limites, temos então que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ ∫ y 2 [ 4 - ( x 2 + y 2 ) ] d x   d y   + 1 2 ∫ ∫ ( 16 - ( x 2 + y 2 ) 2 ) d x d y

Agora sim! Podemos mudar para coordenadas polares! Bora lá!

Passo 5

Fazendo a mudança para coordenadas polares temos a conveniência de que x 2 + y 2 = r 2 , portanto, obtemos

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r 2 s e n 2 ( θ ) [ 4 - r 2 ] r d r   d θ   + 1 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ( 16 - r 4 ) r d r d θ

Começando pela integral em θ , temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 ∫ 0 2 r 3 [ 4 - r 2 ] d r ∫ 0 2 π s e n 2 ( θ )   d θ   + 1 2 ∫ 0 2 ( 16 - r 4 ) r d r ∫ 0 2 π d θ

Expandindo usando a relação de meio ângulo para o seno

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 2 ∫ 0 2 r 3 [ 4 - r 2 ] d r [ ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ )   d θ ]   + 1 2 ∫ 0 2 ( 16 - r 4 ) r d r ∫ 0 2 π d θ

usando as integrais conhecidas para o seno e cosseno, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 2 ∫ 0 2 r 3 [ 4 - r 2 ] d r [ θ | 0 2 π - 1 2 s e n ( 2 θ ) | 0 2 π ]   + 1 2 ∫ 0 2 ( 16 - r 4 ) r d r [ θ | 0 2 π ]

Avaliando os limites obtemos simplesmente

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 3 π ∫ 0 2 r 3 [ 4 - r 2 ] d r   + π ∫ 0 2 ( 16 - r 4 ) r d r

Falta apenas a integral em r ! Bora lá!

Passo 6

Distribuindo r nas integrais que restaram, obtemos

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 12 π ∫ 0 2 r 3 d r - 3 π ∫ 0 2 r 5 d r   + 16 π ∫ 0 2 r d r - π ∫ 0 2 π r 5 d r

Usando a regrinha do polinômio para integrais, temos que

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 12 π [ 1 4 r 4 | 0 2 ] - 3 π [ 1 6 r 6 | 0 2 ]   + 16 π [ 1 2 r 2 | 0 2 ] - π [ 1 6 r 6 | 0 2 ]

Avaliando os limites de integração

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 48 π - 32 π + 32 π - 32 π 3 = 112 π 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S v → ⋅ n → d S = 112 π 3

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