Calcule o fluxo F → através de S ( N → = normal unitária exterior), para:

( a ) F → ( x , y , z ) = - x z   i → + ( y 3 - y z )   j → + z 2   k → e S o elipsóide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular o fluxo do seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = - x z   i → + ( y 3 - y z )   j → + z 2   k →

através da superfície

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

O cálculo de fluxos pode ser feito através da seguinte expressão

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = ∫ ∫ ∫ V d i v ( F → )   d V

Acima temos o teorema de Gauss, descobrir se é interessante expandir o lado esquerdo ou o lado direito da expressão acima é caminho! Bora lá!

Passo 2

Vamos calcular a divergência do campo vetorial, nós temos que

d i v ( F → ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

em que F → ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z ) = ( - x z , y 3 - y z , z 2 ) . Calculando as derivadas parciais temos então que

d i v ( F → ) = - z + 3 y 2 - z + 2 z = 3 y 2

Ficou até bastante simples! Talvez seja conveniente expandir a nossa integral tripla! Bora lá!

Passo 3

Para expandir a integral tripla precisamos estabelecer os limites de integração convenientes para descrever o nosso elipsóide, o interessante será utilizar coordenadas esféricas nesta missão, temos que

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Para enxergar melhor a mudança de variáveis, vamos fazer a seguinte identificação

u = x a , v = y b e w = z c

de forma que o nosso elipsóide toma o formato de uma esfera nessa escolha

u 2 + v 2 + w 2 = 1

Temos que tomar o cuidado de que se mudamos as variáveis, precisamos calcular o jacobiano através da definição

a matriz do lado direito já está calculada para a nossa mudança! Calculando o determinante, temos que o jacobiano se torna

J f = a b c

e, desta forma, podemos escrever a nossa integral como

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ' 3 b 2 v 2   a b c   d u   d v   d w

Mas ainda está chato decidir quais são os limites de integração! Para isso, vamos fazer uma segunda mudança de coordenadas!

Passo 4

Agora nós temos uma esfera, e portanto, podemos usar coordenadas esféricas da forma

u = r   c o s ( θ )   s e n ( ϕ ) , v = r   s e n ( θ )   s e n ( ϕ ) e w = r   c o s ( ϕ )

e, o jacobiano já conhecido como

J = r 2   s e n ( ϕ )

de forma que a nossa integral se torna

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 a b 3 c ∫ ∫ ∫ V ' r 4   s e n 2 ( θ )   s e n 3 ( ϕ ) d r   d θ   d ϕ

Agora fica fácil! Temos uma esfera de raio 1 , portanto, as coordenadas simplesmente variam em 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ ϕ ≤ π . O que nos falta é resolver a integral

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 a b 3 c ∫ 0 1 ∫ 0 π ∫ 0 2 π r 4   s e n 2 ( θ )   s e n 3 ( ϕ ) d θ   d ϕ   d r

Vamos começar com a integração em θ ! Vem comigo!

Passo 5

Integrando primeiro em θ , temos que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 a b 3 c ∫ 0 1 ∫ 0 π r 4 s e n 3 ( ϕ ) d ϕ   d r ∫ 0 2 π   s e n 2 ( θ )     d θ

Para a integral que separei precisaremos usar a relação de meio ângulo para o seno, e escrever

∫ 0 2 π   s e n 2 ( θ )     d θ = 1 2 ∫ 0 2 π [ 1 - c o s ( 2 θ ) ] d θ = 1 2 ∫ 0 2 π d θ - 1 2 ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ

Resolvendo usando as integrais que já conhecemos, temos que

∫ 0 2 π   s e n 2 ( θ )     d θ = 1 2 [ θ ] | 0 2 π - 1 2 [ 1 2 s e n ( 2 θ ) ] | 0 2 π = π

Portanto, resta para resolvermos a seguinte integral

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 π a b 3 c ∫ 0 1 ∫ 0 π r 4 s e n 3 ( ϕ ) d ϕ   d r

Vamos resolver agora a integral em ϕ !

Passo 6

Separando a integral em ϕ , temos que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 3 π a b 3 c ∫ 0 1 r 4 d r ∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ  

para resolver essa integral será conveniente escrever a expressão acima como s e n 3 ( ϕ ) = s e n ( ϕ ) s e n 2 ( ϕ ) , e usar a identidade trigonométrica para reescrever o s e n 2 ( ϕ ) , vamos ficar com

∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ = ∫ 0 π s e n ( ϕ ) [ 1 - c o s 2 ( ϕ ) ] d ϕ = ∫ 0 π s e n ( ϕ ) d ϕ - ∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ

A primeira dessas duas integrais já é conhecida, podemos escrever que

∫ 0 π s e n ( ϕ ) d ϕ = - c o s ( ϕ ) | 0 π = 2

e, para a segunda integral precisamos usar a substituição simples

u = c o s ( ϕ ) e d u = - s e n ( ϕ ) d ϕ

usando que u ( π ) = - 1 e que u ( 0 ) = 1 , obtemos

∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ = - ∫ 1 - 1 u 2 d u = - 1 3 u 3 | 1 - 1

avaliando os limites de integração temos que

∫ 0 π s e n ( ϕ ) c o s 2 ( ϕ ) d ϕ = 2 3

a nossa integral se torna então

∫ 0 π s e n 3 ( ϕ ) d ϕ = 2 - 2 3 = 4 3

Voltando estes resultados em nossa integral original, temos que

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 4 π a b 3 c ∫ 0 1 r 4 d r  

Falta só mais uma integral! Bora lá!

Passo 7

A integral em r pode ser resolvida usando a regra do polinômio para integrais, temos que

∫ 0 1 r 4 d r = 1 5 r 5 | 0 1 = 1 5

de forma que temos o nosso resultado final como

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 4 π a b 3 c 5  

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ n →   d S = 4 π a b 3 c 5  

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Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
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