Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Use o Teorema de Divergência para calcular

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S

Onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Você para olha para essa questão e vê uma integral de superfície escalar. E se pergunta, como diabos eu faço teorema da divergência para uma função escalar.

Vou te falar nem eu sei, mas não precisa saber, infelizmente vamos precisar de um certo macetinho aqui, peço desculpa desde já mas foi a única forma que consegui resolver essa questão, ela é levemente bem bizarra.

Uma coisa que você não deve saber é que quando temos uma integral de superfície vetorial temos algo assim

∬ S F → ∙ n → d S

Certo? Se trocarmos o valor de n → ali e fizermos a conta, vamos transformar essa integral vetorial em escalar, então na verdade o que temos é

∬ S F → ∙ n → d S = ∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S

Ou seja

F → ∙ n → = 2 x + 2 y + z 2

Passo 2

Vamos tentar achar a função F → para podermos aplicar Gauss.

Antes devemos achar o vetor normal a superfície S . A superfície que temos é a esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

O seu vetor normal vai ser encontrado aqui pelo gradiente, lembrando que quando temos o gradiente temos que pegar o gradiente unitário

n → = ∇ F ∇ F

Onde F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Assim vamos ter

n → = 2 x , 2 y , 2 z 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2   = 2 x , 2 y , 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2

Lembrando que temos uma esfera onde

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Vamos ter

n → = 2 x , 2 y , 2 z 2 = x , y , z

Assim vamos ter

F → ∙ x , y , z = 2 x + 2 y + z 2

Passo 3

Para resolver essa nova equação vamos fazer

F → = F 1 , F 2 , F 3

Então

F 1 , F 2 , F 3 ∙ x , y , z = 2 x + 2 y + z 2

F 1 x + F 2 y + F 3 z = 2 x + 2 y + z 2

Isso nos diz que

F 1 = 2

F 2 = 2

F 3 = z

E vamos ter

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S = ∬ S   2,2 , z ∙ n → d S

Agora podemos aplicar Gauss

Passo 4

A nossa função F está definida em todos os pontos da esfera, e a esfera é uma superfície fechada, então podemos aplicar o teorema da divergência

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S = ∬ S   2,2 , z ∙ n → d S = ∬ S   F → ∙ n → d S

Pelo teorema da divergência vamos ter

∬ S   F → ∙ n → d S = ∭ W d i v F → d W

Onde W é o sólido que tem S como fronteira.

Vamos calcular o divergente da nossa F →

F → = 2,2 , z

Então

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = 0 + 0 + 1 = 1

Então

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S = ∬ S   2,2 , z ∙ n → d S = ∬ S   F → ∙ n → d S = ∭ W d W = V o l u m e W

Como W é uma esfera de raio 1 vamos ter

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S = 4.1 3 π 3 = 4 π 3

Resposta

4 π 3

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