Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Usando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo F x , y , z = y 3 , x 3 , z 3 através da superfície do elipsóide S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4 = 1 , orientada positivamente.

Passo 1

Como a região limitada por S é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente (as normais apontam para fora) podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V

Onde W é o elipsóide do problema.

Passo 2

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 0 + 0 + 3 z 2 = 3 z 2

Passo 3

Montando a integral

∬ S   F → . d s = 3 ∭ w   z 2   d x d y d z

Agora, precisamos escrever a região W . Como se trata de um elipsóide, vamos usar coordenadas esféricas com os coeficientes do elipsóide:

x = ρ sen ⁡ φ c o s   θ

y = ρ   sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = 2 ρ cos ⁡ φ

J = 2 ρ 2 sen ⁡ φ

Como se trata do elipsóde inteiro, 0 ≤ ρ ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ φ ≤ π . Fazendo a mudança na integral:

= 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ρ cos ⁡ φ 2 2 ρ 2 sen ⁡ φ d ρ d θ d φ =

= 24 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 4 sen ⁡ φ cos 2 ⁡ φ d ρ d θ d φ =

Passo 4

Agora é só resolver isso ai

= 24 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ρ 5 5 sen ⁡ φ cos 2 ⁡ φ 0 1 d θ d φ =

= 24 5 ∫ 0 π ∫ 0 2 π sen ⁡ φ cos 2 ⁡ φ d θ d φ =

= 48 π 5 ∫ 0 π sen ⁡ φ cos 2 ⁡ φ d φ =

= 48 π 5 - 1 3 cos 3 ⁡ φ 0 π =

= - 16 π 5 - 1 - 1 =

= 32 π 5

Resposta

32 π 5

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