Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 306-1.

Calcule ∬ S   F ∙ n d S , onde F = 2 x + x y 2 , - z y , z 2 2 - y 2 z , S é a superfície cilíndrica fechada limitada pelos planos z = 0 e z = 1 , cuja base no plano x y é limitada pelas curvas de equações:

x 2 + y - 1 2 = 4 ,     y ≥ 1

x 2 + y + 1 2 = 4 ,     y ≤ - 1

x - 2 2 + y 2 = 1 ,     x ≥ 2

x + 2 2 + y 2 = 1 ,     x ≤ - 2

E o vetor normal é exterior à S .

Passo 1

Pelo aspecto do campo vetorial, ficamos inclinados à aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F ∙ n d S = ∭ W   d i v F d W

Calculando o divergente:

d i v F = 2 + y 2 - z + z - y 2

d i v F = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos determinar os limites de integração em W . Fazendo o desenho do cilindro, que não é tão difícil pois são vários semicírculos, obtemos:

Aplicando a fórmula, temos simplesmente o dobro do volume da região:

∬ S   F ∙ n d S = ∭ W   2 d W

∬ S   F ∙ n d S = 2 ∭ W   d W

∬ S   F ∙ n d S = 2 × V o l ( W )

Que é constituída basicamente de uma circunferência de raio 2 , uma de raio 1 e um retângulo de lados 4 e 2 . A altura é 1 .

V o l W = 1 × 2 2 π + 1 2 π + 4 × 2

V o l W = 5 π + 8

Substituindo:

∬ S   F ∙ n d S = 2 × 5 π + 8

Resposta

∬ S   F ∙ n d S = 10 π + 16

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