Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja r → = x   i ^ + y   j ^ + z   k ^ e seja B uma região para qual o Teorema da Divergência se aplica. Prove que

V o l u m e   d e   B = 1 3   ∬ S r → ⋅ n ^ d S ,

Onde S é a fronteira de B com normal exterior n ^ . Use este resultado para calcular o volume de uma esfera de raio R .

Passo 1

Vamos entender primeiro o que o enunciado quer nos dizer, beleza? Ele começa falando de B , uma região que atende o teorema da divergência, ou seja, ela é fechada e nossa campo está bem definido nela.

Depois ele fala de S , a fronteira da região B , com vetor normal exterior ela. Isso também satisfaz outra condição do teorema de divergência!

Agora que a gente tem a visão geral das coisas, vamos ver como provar o que ele diz. Vem comigo!

Passo 2

Ele diz que

V o l u m e   d e   B = 1 3   ∬ S r → ⋅ n ^ d S

Cara, ele está relacionando um volume com uma integral de superfície. Quem pode fazer isso para gente? Aquele teorema que relaciona uma integral tripla, tendo um volume como domínio, com uma integral de superfície, o teorema do Divergente!

E o que esse bonito diz:

∫ ∫ ∫ W d i v   F → d V = ∫ ∫ S F → ⋅ n ^ d S

Sendo que S é a nossa região fechada e W o espaço dentro dessa região, que para nós se chama B , certo?

E esse F → vai ser nosso campo:

r → = x   i ^ + y   j ^ + z   k ^

Vamos reescrever o teorema com nossos dados:

∫ ∫ ∫ W d i v   F → d V = ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S

E como a gente já viu que todas aquelas condições desse teorema são satisfeitas, a gente pode aplicar esse carinha sem problemas!

Passo 3

O divergente d i v   F é calculado assim:

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

E nosso campo é:

F → = F 1 , F 2 , F 3 = x , y , z

Aí a gente calcula:

d i v   F → = ∂ ( x ) ∂ x + ∂ ( y ) ∂ y + ∂ ( z ) ∂ z = 1 + 1 + 1 = 3

E o teorema fica:

∫ ∫ ∫ B 3 d V = ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S

3 ∫ ∫ ∫ B 1 d V = ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S

Repara que a integral tripla em B com integrando 1 é o volume de B ! Então a gente pode escrever:

3 V o l u m e   d e   B = ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S

V o l u m e   d e   B = 1 3 ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S

Olha só! Isso era o que queríamos provar!

Passo 4

Agora precisamos usar essa informação para calcular o volume de uma esfera de raio R . A nossa informação é

V o l u m e   d e   B = 1 3 ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S

Para nós, B então vai ser a esfera de raio R . Ela pode ter essa equação

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Então o que precisamos fazer para achar o volume é calcular

1 3 ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S

Que é um integral de superfície vetorial. Bora lá!

Passo 5

Cara, tem um passo a passo para fazer esse tipo de integral. Só seguir ele que dá bom!

Primeira coisa é parametrizar a superfície. Pela nossa equação, nossa superfície é uma esfera de raio R centrada em 0,0 , 0 .

Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas esféricas. Fica assim:

φ θ , β = R   s e n   β cos ⁡ θ , R   s e n   β sen ⁡ θ ,   R cos ⁡ β

Como a esfera está completa, nosso domínio fica:

0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ β ≤ π

Passo 6

Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal.

∂ φ ∂ θ = - R   s e n β   s e n   θ ,   R   s e n   β cos ⁡ θ ,   0

∂ φ ∂ β = R cos ⁡ β cos ⁡ θ ,   R cos ⁡ β s e n   θ ,   - R   s e n   β

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ β = i ^ j ^ k ^ - R   s e n β   s e n   θ   R   s e n   β cos ⁡ θ 0 R cos ⁡ β cos ⁡ θ R cos ⁡ β s e n   θ - R   s e n   β

N → = - R 2   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   - R 2   s e n 2 β   s e n   θ ,   - R 2 s e n   β cos ⁡ β s e n 2 θ - R 2 s e n β cos ⁡ β cos 2 ⁡ θ

N → = - R 2   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   - R 2   s e n 2 β   s e n   θ ,   - R 2 s e n   β cos ⁡ β

Mas a gente precisa verificar se ele tá na orientação certa. Como assim? O teorema pede que para superfícies fechadas a orientação seja positiva.

Nossa esfera é fechada. Aí a orientação positiva é quando o vetor normal a ela aponta para fora dela, beleza?

Então a gente precisa testar para ver se o vetor que a gente tem aponta para fora. Vamos fazer isso testando um ponto. Olha o desenho:

Ali naquele ponto azul, é onde θ = 0 e β = π / 2 . Vamos testar ele no nosso vetor, para saber para onde ele aponta:

N → = - R 2   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   - R 2   s e n 2 β   s e n   θ ,   - R 2 s e n   β cos ⁡ β

N → = - R 2 ,   0 ,   0

Ih ele aponta para o lado negativo do eixo x , então se ele sai do pontinho azul, ele tá entrando na esfera. Não é isso que a gente quer. Mas tranquilo, é só a gente inverter os sinais das nossas componentes, assim:

N → = R 2   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   R 2   s e n 2 β   s e n   θ ,   R 2 s e n   β cos ⁡ β

Agora tá direitinho!

Passo 7

Vamos montar nossa integral fofa, sendo S o nosso domínio da parametrização da superfície:

1 3 ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π r → θ , β ⋅ ( R 2   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   R 2   s e n 2 β   s e n   θ ,   R 2 s e n   β cos ⁡ β ) d β d θ

r → x , y , z = x , y , z

A gente tem que substituir φ θ , β = a   s e n   β cos ⁡ θ , a   s e n   β sen ⁡ θ ,   a cos ⁡ β

Na expressão do campo:

r → θ , β = R   s e n   β cos ⁡ θ , R   s e n   β sen ⁡ θ ,   R cos ⁡ β

E nossa integral fica:

1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π R   s e n   β cos ⁡ θ , R   s e n   β sen ⁡ θ ,   R cos ⁡ β ⋅ ( R 2   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   R 2   s e n 2 β   s e n   θ ,   R 2 s e n   β cos ⁡ β ) d β d θ

Passo 8

Agora é calcular essa belezinha! Vamos com coragem:

1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π R 3   s e n 3 β cos 2 ⁡ θ + R 3   s e n 3 β   s e n 2 θ + R 3   s e n   β cos 2 ⁡ β d β d θ

R 3 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π   s e n 3 β   cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ +   s e n   β cos 2 ⁡ β   d β d θ

R 3 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 3 β   cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ +   s e n   β cos 2 ⁡ β d β d θ

R 3 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 3 β +   s e n   β cos 2 ⁡ β d β d θ = R 3 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n   β   s e n 2 β   +   s e n   β cos 2 ⁡ β d β d θ

R 3 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n   β (   s e n 2 β   +   cos 2 ⁡ β ) d β d θ

R 3 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π   s e n   β   d β d θ = R 3 3 ∫ 0 2 π - cos ⁡ β 0 π d θ = R 3 3 ∫ 0 2 π 2   d θ

1 3 ∫ ∫ S r → ⋅ n ^ d S = 4 π R 3 3

Daí

V o l u m e   d e   B = 4 π R 3 3

Prontinho!

Resposta

Prova nos passos

V o l u m e   d a   e s f e r a = 4 π R 3 3

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