Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = 3 x y 2   i + x e z   j + z 3   k

Através da superfície do sólido limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e pelos planos x = - 1 e x = 2 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um gráfico dessa região. Como a variável que “falta” na equação do cilindro é x , sabemos que esse é o seu eixo de simetria, ou seja, o cilindro está “deitado” dessa forma:

Como a região limitada por S é fechada, sendo S orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V

Passo 2

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

F → x , y , z = ( 3 x y 2 ,   x e z ,   z 3 )

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 3 y 2 + 0 + 3 z 2 = 3 y 2 + 3 z 2

Passo 3

Agora vamos montar a integral

∬ S   F → . d s = 3 ∭ w   y 2 + z 2   d x d y d z

Onde W é o volume que vimos no passo 1.

Passo 4

Vamos agora, descrever essa região W . Como nós temos um cilindro e nossa função a ser integrada y 2 + z 2 , parece uma boa usar coordenadas cilíndricas. Mas não as coordenadas cilíndricas convencionais, que estamos acostumados a usar:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Já que o nosso cilindro está deitado, seu eixo de simetria não é o z , mas o x , vamos fazer essa substituição aqui:

x = x

y = r cos ⁡ θ

z = r   s e n   θ

J = r

É como se a gente tivesse trocado as coordenadas! Como o eixo de simetria é o x , essa é a variável que não muda ( x = x ), as outras duas, y e z , nós vamos chamar de r cos ⁡ θ e r   s e n   θ , como fazíamos antes. O Jacobiano é o mesmo, pois, afinal, é uma mudança cilíndrica.

Então, equação do cilindro 1 = y 2 + z 2 se transforma em r = 1 .

Como podemos ver pela figura, - 1 ≤ x ≤ 2 . Já que temos uma volta completa no plano y z , temos 0 ≤ θ ≤ 2 π . Os valores de r variam desde o eixo x , onde r = 0 até o cilindro, onde r = 1 , portanto, 0 ≤ r ≤ 1 .

Isso nos dá

= 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 r d x d r d θ =

Repare que os diferenciais são d x d θ d r , não d z d θ d r !

= 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 r 3 d x d r d θ =

Passo 5

Agora vamos resolver a integral. Integrando em relação a x :

= 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 x - 1 2 d r d θ =

= 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1   r 3 ( 2 + 1 ) d r d θ =

= 9 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ =

Agora em relação a r :

= 9 4 ∫ 0 2 π r 4 0 1 d r =

= 9 4 ∫ 0 2 π d θ =

Finalmente, em relação a θ :

= 9 4 θ 0 2 π =

= 9 π 2

Resposta

9 π 2

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