Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

3) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

onde F → = x + y i → + y + z j → + z 2 k → , S é a fronteira do cilindro

W = x ,   y ,   z ∈ R 3 ; x 2 + y 2 ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 1

e n → orientada para fora de W .

Passo 1

Bem, o problema quer claramente que busquemos a resolução da integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Veja você que embora o campo é um pouco simpático com a gente, a superfície é uma superfície composta por outras três superfícies diferentes entre si (a casca de um tronco de cilindro):

O fato de ter uma superfície composta já é uma indicação de que vamos ter que pegar o segundo caminho, ou seja, resolver pelo Teorema de Gauss. Mas, se você quer mais certeza ainda, calcule o divergente...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z

Como

F → x ,   y ,   z = x + y i → + y + z j → + z 2 k → = F 1 i → +   F 2 j → +   F 3 k →

Calculando as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = 1

∂ F 2 ∂ y = 1

∂ F 2 ∂ z = 2 z

Logo...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z = 2 + 2 z

Pow, com um divergente simples desses... Sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

∬ S   F → ⋅ n →   d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada S delimitando o sólido W :

Se desenharmos S como o problema nos sugeriu:

Yes! A superfície é fechada.

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F → x ,   y ,   z = x + y i → + y + z j → + z 2 k →

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado:

Passo 3

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

∬ S   F → ⋅ n →   d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho, acredita em mim!

Passo 4

∭ W   d i v   F →   d V = ∭ W   2 + 2 z   d V

Como estamos falando de um pedaço de um cilindro, podemos utilizar as mudanças para coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Onde o Jacobiano dessa mudança é:

J = r

E uma equação que nos ajuda muito é a equação do cilindro:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 5

Não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:

Para encontrar a variação de r e θ , devemos olhar pra projeção do sólido no plano x y ...

Veja que o raio r varia dentro da superfície desde a origem até o raio máximo do cilindro que é 1 ...

0 ≤ r ≤ 1

E o ângulo θ , bem, esse cara tá dando uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já variação do z , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:

Ou seja...

0 ≤ z ≤ 1

Passo 6

Retornando à integral que queremos resolver...

∭ W   2 + 2 z   d V

Onde vamos substituir tudo, não se esquecendo de colocar o Jacobiano...

∭ W   2 + 2 z   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 + 2 z J   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 r + 2 r z   d z d r d θ =

Calculando a integral de dentro em z ...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 r + 2 r z   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r z + 2 r z 2 2 0 1 d r d θ =

Substituindo os limites onde calculamos a integral, ou seja, em z :

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 1 + r 2 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r d r d θ =

∫ 0 2 π 3 r 2 2 0 1 d θ = 3 2 ∫ 0 2 π d θ =

3 2 2 π = 3 π

Pelo teorema de Gauss, então encontramos o valor que queríamos...

∬ S   F → ⋅ n →   d S = 3 π

Resposta

3 π

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