Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Use o Teorema do divergente para calcular

∬ S F   d S  

, onde F x , y , z = cos ⁡ z + x y 2 ,   x e - z ,   s e n   y + x 2 z e S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e pelo plno z = 4 orientado positivamente.

Passo 1

O teorema do divergente (Gauss) nos diz que:

Onde

d i v F = y 2 + 0 + x 2 = x 2 + y 2

Passo 2

Vamos então observar nossa região:

Escrevendo nossa região em coordenadas cilíndricas ficamos com:

Assim ficamos com:

z = x 2 + y 2 → r 2

z = 4

Igualando as duas funções que restrigem o intervalo:

x 2 + y 2 = 4 → r 2 = 4 → r = 2

E o θ dando uma volta completa, 0 a 2 π

Passo 3

Vamos escrever então o que a gente tem até agora, sem esquecer o Jacobiano:

∭ E x 2 + y 2 d V   = ∫ 0 2 π ∫ o 2 ∫ r 2 4 r 2   r   d z   d A 0

∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 - r 2 r 3   d r   d θ

2 π ∫ 0 2 4 r 3 - r 5 d r

2 π 2 4 - 2 6 6

32 π 3

Resposta

32 π 3

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