Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Questão 3: Use o Teorema da Divergência para calcular a integral

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S

Onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

A nossa primeira missão nesse problema é entender o que queremos fazer e como vamos. Bem, a gente busca a solução de uma integral de superfície escalar:

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S

E pretendemos encontrar a solução através do teorema da divergência (ou carinhosamente mais conhecido por nós como TEOREMA DE GAUSS)... Ou seja, essa igualdade entre integrais aqui:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v F → d V

Onde o sólido da integral tripla W , é o sólido delimitado pela superfície S onde a integral de superfície é calculada, ou seja, S é a esfera de raio 1 , o sólido W é o interior:

Passo 2

Eu não sei se você percebeu, mas tem um probleminha aqui: o teorema da divergência trabalha com uma integral de superfície do caso vetorial, envolvendo um campo F → vetorial. E o qual o problema nisso?! ORA! Queremos encontrar o resultado de uma integral de superfície escalar e não vetorial:

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S

MAS calma jovem! Nem tudo está perdido. Você se lembra de que todo produto escalar de dois vetores, nos gera um resultado escalar? Veja o exemplo:

1 ,   2 ,   3 ⋅ 4 ,   5 ,   0 = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 0 = 14

Isso significa que se fizermos o produto dos vetores F → e o vetor norma na integral do caso vetorial

∬ S   F → ⋅ n →   d S

Vamos encontrar a integral escalar:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S         →

F → ⋅ n → = 2 x + 2 y + z 2

Então vamos ter que encontrar o vetor F → que satisfaça essa condição. Então depois podemos prosseguir com o cálculo utilizando Gauss, saca?

Passo 3

OK! Mas agora, quem é o vetor n → ? Ele é sempre o vetor unitário perpendicular à superfície que estamos trabalhando:

Para nós encontrarmos esse vetorzinho aí, teremos que fazer o seguinte: você se lembra daquela história de que o vetor gradiente é sempre perpendicular á superfície de nível de uma função? Pois então! A nossa superfície tem essa equação aqui, certo?

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Não tem nenhuma função nela, mas veja que podemos falar que essa esfera é uma superfície de nível 1 da função:

g x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2

O legal que aí podemos calcular o vetor gradiente:

∇ g = ∂ g ∂ x ,   ∂ g ∂ y ,   ∂ g ∂ z =

2 x ,   2 y ,   2 z

Como o vetor gradiente é sempre perpendicular à superfície de nível, esse vetor gradiente é o vetor normal N → ! (Viu que truque de matemática legal? Você sempre é permitido fazer isso para descobrir esse vetor normal, ok? Fique a dica ).

Só temos que tomar cuidado com uma coisa, n → é unitário:

n → = N → N → = 2 x ,   2 y ,   2 z 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 =

2 x ,   2 y ,   2 z 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 1 4 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 2 x ,   2 y ,   2 z

Como x 2 + y 2 + z 2 = 1 (a superfície S é uma esfera de raio 1 )...

n → = 1 4 1 ⋅ 2 x ,   2 y ,   2 z =

1 2 ⋅ 2 x ,   2 y ,   2 z =

x ,   y ,   z

Eis o vetor normal unitário n → !

Passo 4

Mas sem mais delongas, como havíamos comentado lá no passo 2, precisamos encontrar F → tal que...

F → ⋅ n → = 2 x + 2 y + z 2 =

F → ⋅ x ,   y ,   z = 2 x + 2 y + z 2

Então veja, que se o campo vetorial F → for F → = 2 ,   2 ,   z , a gente tem pelo produto escalar...

2 ,   2 ,   z ⋅ x ,   y ,   z = 2 x + 2 y + z 2

Saca?

Passo 5

Então o campo F → finalmente foi descoberto. Podemos prosseguir com o cálculo pelo teorema da divergência...

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S = ∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v F → d V

Calculando o divergente do campo:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Onde F 1 , F 2 e F 3 são componentes do campo:

F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = 2 ,   2 ,   z         →                 F 1 = 2 F 2 = 2 F 3 = z

Então...

d i v F → = 0 + 0 + 1 = 1

Logo, a integral tripla que vamos calcular é...

∭ W   d i v F → d V = ∭ W   1 d V

ORA! O que é a integral de 1 d V ? É o volume do sólido W ! Como esse sólido é uma esfera de raio 1 ...

∭ W   1 d V = 4 3 π 1 3 = 4 3 π

Passo 6

Então pelo teorema da divergência...

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S = ∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v F → d V =

4 3 π

Ou seja, encontramos o resultado que queríamos desde o início :

∬ S   2 x + 2 y + z 2 d S = 4 3 π

Resposta

4 3 π

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