Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Questão 3:

Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

onde

F → x ,   y ,   z = z 10 y 7 + cos ⁡ y z ,   3 y + cos ⁡ x z ,   x z + e cos ⁡ y

e S = S 1 ∪ S 2 , sendo S 1 a parte do paraboloide z = 4 - 2 x 2 - y 2 , 2 ≤ z ≤ 4 , orientada de modo que sua normal unitária n → 1 satisfaça n → 1 0 ,   0 ,   4 = 0 ,   0 ,   1 , e S 2 a parte do paraboloide z = 1 + x 2 + y 2 2 ,   1 ≤ z ≤ 2 , orientada de modo que sua normal unitária n → 2 satisfaça n → 2 0 ,   0 ,   - 1 .

Passo 1

Bem, acho que você já percebeu que essa integral de superfície não será feita de uma forma direta, afinal o campo é horroroso e a superfície também, mesmo sem desenha-la, é bem feia por definição.

O segredo aqui então é tentar usar o Teorema de Gauss. Para você ter certeza, busquemos o divergente ;)

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Como...

F → x ,   y ,   z = z 10 y 7 + cos ⁡ y z ⏟ F 1 ,   3 y + cos ⁡ x z ⏟ F 2 ,   x z + e cos ⁡ y ⏟ F 3

Calculando as derivadas parciais tomando o devido cuidado...

d i v F → = ∂ ∂ x z 10 y 7 + cos ⁡ y z + ∂ ∂ y 3 y + cos ⁡ x z + ∂ ∂ z x z + e cos ⁡ y

d i v F → = 0 + 3 + x =

3 + x

Com um divergente desses, certamente é Gauss !

Passo 2

Pelo Teorema de Gauss...

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v F → d V

Agora, não podemos sair aplicando essa linda igualdade assim, neh? Temos que antes averiguar as condições do Teorema:

1º - Precisamos de uma superfície fechada S delimitando um sólido W .

2º - O Campo F → não pode ter singularidades no sólido e nem na superfície.

3º - Além disso, temos que ter uma superfície-sólido orientado positivamente.

Passo 3

O primeiro se refere à superfície S que deve ser fechada delimitando um sólido W no seu interior. Agora, será que isso está acontecendo? Para averiguar a resposta, desenhemos a superfície S :

O problema nos disse que é uma superfície união de outras duas: S 1 e S 2 , onde S 1 é um paraboloide com a boca pra baixo, passando por z = 4 e S 2 é um paraboloide com a boca pra cima passando por z = 1 ...

Não esquenta na hora de desenhar esses caras com a perfeição, pois só queremos um esboço mesmo, ok?

Bem, a superfície é fechada, e delimita um cara fechado dentro dele ;)

Passo 4

A outra condição nos pede um campo sem singularidades onde estamos trabalhando, e olha que legal

F → x ,   y ,   z = z 10 y 7 + cos ⁡ y z ,   3 y + cos ⁡ x z ,   x z + e cos ⁡ y

O campo F → não tem singularidades (divisão por zero ou coisa parecida) em lugar algum!

Passo 5

A última condição, nos fala que precisamos de uma superfície orientada positivamente, o que significa que o vetor normal deve estar saindo do sólido. Se você observar o enunciado, ele fala que no ponto 0 ,   0 ,   4 em S 1 , o vetor é pra cima

E em S 2 , no ponto 0 ,   0 ,   1 o vetor é...

Ou seja, de fato o sólido está orientado positivamente.

Passo 6

Com as condições ok, podemos aplicar a igualdade de Gauss para matarmos o problema:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v F → d V

No caso trocamos o problema de calcular a integral de superfície por um problema de calcular a integral tripla:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   3 + x   d V

Para isso, precisamos do sólido W descrito. Como está dentro de dois paraboloides, podemos descrevê-lo em coordenadas cilíndricas, observe!

Passo 7

Para descobrirmos que cilindro estamos trabalhando, devemos encontrar a intersecção entre esses dois paraboloides.

Observe que essa intersecção acontece justamente no z = 2 (coordenada z que ambos têm em comum). Substituindo na equação de um deles...

z = 4 - 2 x 2 - y 2     →

2 = 4 - 2 x 2 - y 2     →

- 2 = - 2 x 2 - y 2     →

2 x 2 + y 2 = 2       →             x 2 + y 2 2 = 1

x 2 + y 2 2 2 = 1

Então o cilindro que contêm o sólido é um de base elíptica, e a mudança de coordenadas que devemos fazer então é...

x = r cos ⁡ θ

y = 2   r sin ⁡ θ

z = z

Não se esqueça do Jacobiano, que no caso de uma mudança para coordenadas elípticas vale...

J = 2   r

O raio r está variando de 0 a 1 e θ dá uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Quanto ao z , bem ele entra no sólido no paraboloide baixo e sai no de cima...

P a r a b o l ó i d e   d e   b a i x o ≤ z ≤ P a r a b o l ó i d e   d e   c i m a

Como o paraboloide de cima é z = 4 - 2 x 2 - y 2 e o de baixo é z = 1 + x 2 + y 2 2 ...

1 + x 2 + y 2 2 ≤ z ≤ 4 - 2 x 2 - y 2

Em coordenadas cilíndricas...

1 + r cos ⁡ θ 2 + 2   r sin ⁡ θ 2 2 ≤ z ≤ 4 - 2 r cos ⁡ θ 2 - 2   r sin ⁡ θ 2

1 + r 2 cos 2 ⁡ θ + 2   r 2 sin 2 ⁡ θ 2 ≤ z ≤ 4 - 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - 2   r 2 sin 2 ⁡ θ

1 + r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ z ≤ 4 - 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

1 + r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ≤ z ≤ 4 - 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ...

1 + r 2 ≤ z ≤ 4 - 2 r 2

Passo 8

Substituindo então esses dados na integral tripla...

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   3 + x   d V =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 + r 2 4 - 2 r 2 3 + r cos ⁡ θ ⋅ J   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 + r 2 4 - 2 r 2 3 2   r + 2   r 2 cos ⁡ θ   d z d r d θ =

Integrando em z considerando toda a exressão que não tem z como constante...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 2   r + 2   r 2 cos ⁡ θ ∫ 1 + r 2 4 - 2 r 2   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 2   r + 2   r 2 cos ⁡ θ 4 - 2 r 2 - 1 + r 2 d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 2   r + 2   r 2 cos ⁡ θ 3 - 3 r 2 d r d θ =

Simplificando mais um pouco...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 2   r + 3 2   r 2 cos ⁡ θ - 9 2   r 3 - 3 2   r 4 cos ⁡ θ d r d θ =

Agora calculando a integral do meio...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 2   r + 3 2   r 2 cos ⁡ θ - 9 2   r 3 - 3 2   r 4 cos ⁡ θ d r d θ =

∫ 0 2 π 9 2 r 2 2 0 1 + 2 r 3 0 1 cos ⁡ θ - 9 2 r 4 4 0 1 - 3 2 cos ⁡ θ r 5 5 0 1 d θ =

∫ 0 2 π 9 2 4 + 2 cos ⁡ θ - 3 2 cos ⁡ θ 5 d θ =

∫ 0 2 π 9 2 4 + 2 2 cos ⁡ θ 5 d θ =

Por fim...

9 2 4 θ + 2 2 sin ⁡ θ 5 0 2 π =

9 π 2 2

Resposta

9 π 2 2

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