Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

UFRJ - Cálculo 3 - P2 2013.2 – 4

Considere o campo vetorial

F = z 2 , 2 y z , 4 cos x .

Seja a ( 0,1 ) uma constante. Determine o fluxo de F através da superfície S definida como a fronteira da região

W = x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 1 ,     z a 1 - a 2 x 2 + y 2

Passo 1

Como o problema pede para calcularmos o fluxo de F através da superfície S , na verdade, ele está pedindo para calcularmos:

S   F . n d S

E como se trata de uma superfície fechada, podemos usar o Teorema de Gauss, que diz que:

S   F . n   d s = w   d i v F   d V

d i v F = F 1 x +   F 2 y + F 3 z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

F = z 2 , 2 y z , 4 cos x

Vamos começar calculando as derivadas parciais dos componentes de F   para o divergente.

F 1 = z 2 F 1 x = 0

F 2 = 2 y z   F 2 y = 2 z

F 3 = 4 cos x F 3 z = 0

Portanto,

d i v F = F 1 x +   F 2 y + F 3 z = 2 z

Passo 3

A nossa região W é dada por:

W = x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 1 ,     z a 1 - a 2 x 2 + y 2

Isso significa que é a região no interior da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

E fora do cone

z a 1 - a 2 x 2 + y 2

O resultado é algo do tipo:

Passo 4

S   F . n   d s = w   d i v F   d V = W 2 z   d x d y d z

Como o nosso sólido é a parte de uma esfera, podemos usar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ϕ cos θ

y = ρ sen ϕ sen θ

z = ρ cos ϕ

J = ρ 2 s e n φ

Vamos usar o que o problema nos disse sobre a região W para descobrir os limites de ρ , ϕ e θ .

Passo 5

x 2 + y 2 + z 2 1

Substituindo as coordenadas esféricas:

ρ 2 sen 2 ϕ cos 2 θ + ρ 2 sen 2 ϕ sen 2 θ + ρ 2 cos 2 ϕ 1

cos 2 θ + sen 2 θ = 1

ρ 2 sen 2 ϕ + ρ 2 cos 2 ϕ 1

sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1

ρ 2 1

0 ρ 1

Passo 6

Ok, o que podemos fazer também é encontrar a interseção entre as superfícies:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 - z 2

z = a 1 - a 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = z 2 1 - a 2 a 2

Igualando os dois termos:

1 - z 2 = z 2 1 - a 2 a 2

a 2 1 - z 2 = z 2 ( 1 - a 2 )

a 2 - a 2 z 2 = z 2 - a 2 z 2

z 2 = a 2

z = a

A interseção ocorre no plano z = a .

Como, de acordo com as coordenadas esféricas z = ρ cos ϕ , a interseção ocorre quando

ρ = 1

z = cos ϕ 0 = a

ϕ 0 = arccos a

Então podemos ver inclusive no gráfico que

ϕ 0 ϕ π

Ah! Como não existem restrições para θ vamos utilizar os seus limites usuais:

0 θ 2 π

Passo 7

Ah! Existem outras maneiras de se encontrar esse ângulo ϕ 0 , então não precisa decorar do jeito que eu fiz.

Por exemplo, se você tenta usar só a equação:

z = a 1 - a 2 x 2 + y 2

Substituindo as coordenadas esféricas, você encontraria algo do tipo (já vou dar uma simplificada aqui, ok?):

cos ϕ = a 1 - a 2 sen ϕ

tan ϕ = 1 - a 2 a

Nesse caso,

ϕ 0 = arctan 1 - a 2 a

Po! Mas deu diferente, e agora?!

Cara, fica tranquilo, estamos falando do mesmo ângulo, então relaxa.

Uma outra forma seria igualar

z = 1 - x 2 - y 2

z = a 1 - a 2 x 2 + y 2

Substituindo as coordenadas esféricas, você encontraria algo do tipo (já vou dar uma simplificada aqui de novo, beleza?):

1 - ρ 2 sen 2 ϕ = a 2 1 - a 2 ρ 2 sen 2 ϕ

1 - ρ 2 sen 2 ϕ - a 2 + a 2 ρ 2 sen 2 ϕ = a 2 ρ 2 sen 2 ϕ

ρ 2 sen 2 ϕ = 1 - a 2

Considerando ρ = 1 (na superfície da esfera):

sen ϕ = 1 - a 2

ϕ 0 = arcsen 1 - a 2

Então

ϕ 0 = arccos a = arcsen 1 - a 2 = arctan 1 - a 2 a

Dá no mesmo, estamos falando do mesmo ângulo.

Viu?! =]

Passo 8

Voltando pra integral:

W 2 z   d x d y d z = 0 2 π ϕ 0 π 0 1 2 ρ cos ϕ . ρ 2 sen ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

= 2 0 2 π ϕ 0 π 0 1 ρ 3 cos ϕ sen ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

= 2 0 2 π ϕ 0 π ρ 4 4 cos ϕ sen ϕ 0 1   d ϕ   d θ

= 1 2 0 2 π ϕ 0 π cos ϕ sen ϕ   d ϕ   d θ

Por substituição:

u = sen ϕ

d u = cos ϕ   d ϕ

Voltando pra integral:

= 1 2 0 2 π u   d u   d θ

= 1 2 0 2 π u 2 2   d θ

= 1 2   sen 2 ϕ 2 ϕ 0 π 0 2 π d θ

= 1 2   sen 2 ϕ 2 ϕ 0 π θ 0 2 π

= 1 4   ( sen 2 π - sen 2 ϕ 0 ) ( 2 π - 0 )

Onde:

sen π = 0

sen ϕ 0 = 1 - a 2

Portanto:

= π 2   0 - 1 - a 2

= - π 2   1 - a 2

Resposta

S   F . n   d s = - π 2   1 - a 2

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