Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

PUCRIO – Física III – Prova 3 – 2014.2 – Questão nº3.

No circuito de corrente alternada abaixo sabe-se que o valor quadrático médio da diferença de potencial V D E q m = 1   V . Além disso, sabe-se que a amplitude da d.d.p entre os pontos A e B é dada por: V A B M = 2 . 2 .

São conhecidos também os valores dos seguintes componentes:

R 1 = 10   Ω

L = 1   m H

ε t = 3 . sen ⁡ ( ω t )

ω = 2000   r a d / s

a ) Considerando o diagrama de fasores do circuito e sabendo que ϕ = π / 4 escreva a expressão de V A B ( t ) .

b ) Determine o valor da capacitância C .

c ) Determine o valor do resistor R 2 .

d ) Pelo gráfico dos fasores o circuito não está em ressonância. Para que isso aconteça é preciso aumentar ou diminuir o valor de ω ? Justifique as suas afirmações.

e ) Uma vez estabelecida a ressonância no circuito, qual serão os novos valores das amplitudes de V A B e V D E ?

Passo 1

a )

Precisamos determinar a diferença de potencial nos terminais do capacitor, para isso, precisamos lembrar, que em um circuito RLC, temos que no diagrama de fasores, a corrente está adiantada π 2 em relação à tensão no capacitor. Então, a tensão no capacitor varia da seguinte forma:

ε = ε M A X . sen ⁡ ω . t - ϕ - π 2

Substituindo os valores, temos:

V A B t = 2 2 . sen ⁡ 2000 . t - π 4 - π 2

V A B t = 2 2 . sen ⁡ 2000 . t - 3 . π 4   [ V ]

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Precisamos determinar o valor da capacitância, para isso, iremos usar as seguintes relações:

X C = 1 ω d . C

V C = I C . X C

Substituindo X C na segunda equação, temos:

V C = I C ω d . C

Nós sabemos o valor máximo de V C = V A B M , precisamos determinar I M , para isso, vamos usar a informação dada no enunciado, temos que V D E q m = 1   V , ou seja:

V D E q m = V D E M 2

V D E M = 2 .   1 = 2   V

A corrente máxima será:

I M = V D E M R = 2 10   A

Agora é só substituir todos os valores na seguinte equação e correr pro abraço!

V C = I C ω d . C

V A B M = I M ω d . C

2 . 2 = 2 / 10 2000 . C

C = 1 2.10.2000 = 25   μ F

Passo 3

c )

Para determinar a resistência R 2 , precisamos lembrar que V R está sempre em fase com a corrente I M , portanto, a componente V R da tensão total ε M é a indicada na fórmula abaixo:

V R M = ε M . cos ⁡ ϕ

Além disso, sabemos que, como os resistores estão em série, temos:

V R M = R 1 + R 2   . I M

Substituindo V R M na primeira equação, temos:

R 1 + R 2   . I M = ε M . cos ⁡ ϕ

Substituindo os valores, temos:

10 + R 2 . 2 10 = 3 . cos ⁡ π 4  

10 + R 2 = 15

R 2 = 5   Ω

Passo 4

d )

Para um circuito RLC, temos que a ressonância ocorre quando:

X C = X L

Vamos determinar ambas as reatâncias para avaliar a situação:

Reatância capacitiva:

X C = 1 ω . C = 1 2000 .   25 × 10 - 6

X C = 20   Ω

Reatância Indutiva:

X L = ω . L = 2000 .   10 - 3

X L = 2   Ω

Temos então que X C > X L , portanto o circuito apresenta comportamento capacitivo, para que as reatâncias se igualem, é preciso que o valor de ω aumente, podemos ver isso olhando para as definições das reatâncias, X L é diretamente proporcional à ω , enquanto X C é inversamente proporcional à ω .

Passo 5

e )

Para determinar os novos valores de V A B e V D E para a nova situação, precisamos primeiro determinar o novo valor máximo de corrente:

ε M = R 1 + R 2 . I M '

I M ' = 3 10 + 5 = 0,2   A

Para V D E M ' :

V D E M ' = R 1 . I M '

V D E M ' = 10.0,2

V D E M ' = 2   V

Para V A B M ' :

V A B M ' = I M ' . X C ' = I M ' . 1 ω d . C

Onde ω d é:

ω d = 1 L . C = 1 10 - 3 . 25 × 10 - 6

ω 0 = 2 × 10 3 . 10   r a d / s

Substituindo:

V A B M ' = 0,2   . 1 2 × 10 3 . 10 . 25 × 10 - 6

V A B M ' = 4 10   V

Resposta

a )   V A B t = 2 2 . sen ⁡ 2000 . t - 3 . π 4   [ V ]

b ) C = 25   μ F

c ) R 2 = 5   Ω

d ) O valor de ω deve aumentar.

e )   V D E M ' = 2   V ;     V A B M ' = 4 10   V

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