Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

UFPE – Física 3 – 2019.2 – 3° EE – Discursiva

3 . Considere um circuito L C em série que tem uma capacitância C = 10   μ F e uma indutância L = 2,5   H . No momento inicial, t = 0 , o capacitor possui carga nula, mas está sendo carregado por uma corrente I 0 = 20   m A .

( a ) Supondo uma solução do tipo q t = Q cos ⁡ ( ω t + ϕ ) , encontre ω , Q e ϕ .

( b ) Qual é o período de oscilação deste sistema.

( c ) Obtenha e esboce um gráfico das funções das energias elétrica ( U E , no capacitor) e magnética ( U B , no indutor), em função do tempo. Indique claramente os seus valores máximos e a escala de tempo.

( d ) Se colocarmos uma fonte de tensão alternada forçando este sistema, dada por ε = ε m sen ⁡ ( ω d t ) , para qual valor de ω d a corrente do circuito será máxima.

Passo 1

Vem comigo que vamos detonar essa questão!

Para não ter confusão vou explicar e resolver cada item separadamente em cada passo. Já que a questão é meio grande e pede bastante coisa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Ele quer que encontremos os parâmetros ω (frequência angular), Q (carga máxima) e ϕ (fase).

Primeiro vamos encontrar ω .

A frequência angular de um circuito L C é dada por:

ω = 1 L C

Substituindo como que temos, ficamos com:

ω = 1 ( 2,5 ) ( 10 ⋅ 10 - 6 )

⇒ ω = 200   r a d / s

Passo 3

Agora vamos encontrar Q .

O enunciado nos deu como a carga se comporta com o tempo.

q t = Q cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Se derivarmos isso em função do tempo teremos como a corrente se comporta em função do tempo, assim temos:

i = d q d t = - Q ω sen ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde a amplitude dessa corrente é I = ω Q , logo temos que:

Q = I ω

O enunciado nos fornece essa corrente máxima, que vai ser I 0 , assim temos que:

Q = 20 ⋅ 10 - 3 200 = 10 - 4   C

Passo 4

Agora falta achar ϕ para completar o item ( a ) . Para isso vamos usar as condições iniciais do problema, segundo o enunciado em t = 0 , temos:

q 0 = 0 = Q cos ⁡ ( ϕ )

⇒ cos ⁡ ( ϕ ) = 0

i 0 = I = - I sen ⁡ ( ϕ )

⇒ sen ⁡ ( ϕ ) = - 1

Para que isso ocorra simultaneamente, temos que:

ϕ = 3 π 2   r a d

Pronto, terminamos o item ( a ) .

Passo 5

Agora vamos resolver ( b ) .

Ele quer o período de oscilação do sistema. Para encontrar isso vamos usar o fato de que:

T = 2 π ω

Usando o valor que temos para ω , ficamos com:

T = 2 π 200

⇒ T = 3,14 ⋅ 10 - 2   s

Fechou o item ( b )

Passo 6

Agora temos o item ( c ) .

Ele quer que encontremos expressões para energia no capacitor e no indutor e esbocemos o gráfico dessas energias.

Temos que a energia em um capacitor é dada por:

U E = q 2 2 C

Usando que q t = 10 - 4 cos ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 ) , logo temos:

U E = 10 - 8 2 0 ⋅ 10 - 6 cos 2 ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 )

⇒ U E = 5 ⋅ 10 - 4 cos 2 ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 )

A energia em um indutor é dada por:

U B = L i 2 2

Usando que i t = - 20 ⋅ 10 - 3 sen ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 ) , logo temos:

U B = 2,5 4 ⋅ 10 - 4 sen 2 ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 ) 2

⇒ U B = 5 ⋅ 10 - 4 sen 2 ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 )

Com isso temos o seguinte gráfico:

O gráfico está em m J × m s .

Passo 7

E finalmente o item ( d ) .

Ele quer saber o valor de ω d onde teremos corrente máxima, para uma fonte alternada ε m .

Mas para que tenhamos corrente máxima o circuito tem que estar em ressonância e isso ocorre quando as frequências de oscilação do circuito e da fonte são iguais, logo:

ω d = ω = 1 L C

⇒ ω d = 200   r a d / s

E finalmente terminamos esse problema.

Resposta

a

ω = 200   r a d / s

Q = 10 - 4   C

ϕ = 3 π 2

( b )

T = 3,14 ⋅ 10 - 2   s

( c )

U E = 5 ⋅ 10 - 4 cos 2 ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 )

U B = 5 ⋅ 10 - 4 sen 2 ⁡ ( 200 t + 3 π / 2 )

( d )

ω d = 200   r a d / s

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas