Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

PUCRIO – Física III – Prova 3 – 2015.1 – Questão nº3.

O circuito R L C em série mostrado na Figura 1 é alimentado pela fonte de corrente alternada ε t = ε M sen ⁡ ω t onde ε M = 100   V , ω = 10   k r a d / s , i t = I M sen ⁡ ω t - ϕ , R = 10   Ω , L = 1   m H e C = 5   μ F .

a ) Determine os valores de I M e ϕ , assim como dos valores máximos das tensões no resistor, indutor e capacitor.

b ) Com base nestes valores, represente o diagrama fasorial para o circuito, indicado se ele é indutivo ou capacitivo.

Em seguida, suponha que a mesma fonte ε t = ε M sen ⁡ ω t , onde ε M = 100   V e i t = I M sen ⁡ ω t - φ , é conectada a um outro circuito R L C série com R , L , C fixos mas desconhecidos. Quando ω = ω 1 = 5000   r a d / s , medem-se I M = 1,0   A e ϕ = 0 ° . Quando ω = ω 2 = 10000   r a d / s , medem-se I M = 0,7   A e ϕ = 45 ° .

c ) Com base nos dados fornecidos imediatamente acima determine os valores de R , L e C .

Passo 1

a ) Determine os valores de I M e ϕ , assim como dos valores máximos das tensões no resistor, indutor e capacitor.

As tensões máximas no resistor, indutor e no capacitor são dadas por:

V R = R I M

V C = X C I M

V L = X L I M

Onde:

I M = ε M Z

Z = R 2 + X L - X C 2

Então precisamos começar calculando X C , X L , Z e I M .

Os dados do problema são:

ε M = 100   V

R = 10   Ω

L = 1   m H = 10 - 3   H

C = 5   μ F = 5 × 10 - 6 F

ω = 10   k r a d / s = 10 × 10 3   r a d / s  

Logo:

X C = 1 ω C = 1 10 × 10 3 × 5 × 10 - 6 = 20   Ω

X L = ω L = 10 × 10 3 × 10 - 3 = 10   Ω

Z = R 2 + X L - X C 2 = 10 2 + 10 - 20 2 = 100 + 100 = 10 2   Ω

Agora podemos calcular I M e as voltagens máximas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

I M = ε M Z = 100 10 2 = 10 2 2 = 5 2   A

V R = R I M = 10 × 5 2 = 50 2   V

V C = X C I M = 20 × 5 2 = 100 2   V

V L = X L I M = 10 × 5 2 = 50 2   V

O problema também pede para calcularmos a diferença de fase ϕ , que é dada por:

tan ⁡ ϕ = X L - X C R      

tan ⁡ ϕ = 10 - 20 10 = - 1

ϕ = tan - 1 ⁡ - 1

ϕ = - 45 °

Passo 3

b ) Com base nestes valores, represente o diagrama fasorial para o circuito, indicado se ele é indutivo ou capacitivo.

Como estamos trabalhando com um circuito R L C , precisamos lembrar de algumas coisas:

  • A tensão no resistor e a corrente estão em fase, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V R é o mesmo de I .
  • A corrente está adiantada π / 2 em relação à tensão no capacitor, ou seja, o ângulo de rotação do fasor V C é o mesmo da corrente menos π / 2 .
  • A corrente está atrasada π / 2 em relação à tensão no indutor, ou seja, o ângulo de rotação no fasor V L é o mesmo da corrente mais π / 2 .

Assim, o diagrama fasorial terá essa cara:

Como V C > V L , o diagrama é capacitivo.

Passo 4

c ) Com base nos dados fornecidos imediatamente acima determine os valores de R , L e C .

O problema diz que, quando ω = ω 1 = 5000   r a d / s , ϕ = 0 ° e I M = 1,0   A .

Se a diferença de fase é nula, ω 1 corresponde à frequência de ressonância, logo, para ω = ω 1 :

ω 1 = 1 L C = 5000   r a d / s

1 L C = 25 × 10 6 → L C = 4 × 10 - 8

Além disso, na ressonância, X L = X C , logo:

Z = ε M I M → R 2 + X L - X C 2 = ε M I M → R 2 = ε M I M

R = ε M I M = 100 1 = 100   Ω

Passo 5

Para ω = ω 2 = 10000   r a d / s , medem-se I M = 0,7   A e ϕ = 45 ° .

Daqui podemos tirar que:

tan ⁡ ϕ = 1 = X L - X C R

ω L - 1 ω C R = 1

ω L - 1 ω C = R

ω 2 L C - 1 ω C = R

ω 2 L C - 1 = ω R C

Do passo anterior, descobrimos que L C = 4 × 10 - 8 e R = 100   Ω . E, de acordo com o enunciado, ω = 10000   r a d / s , logo:

10 4 2 × 4 × 10 - 8 - 1 = 100 × 10 4 C

10 8 × 4 × 10 - 8 - 1 = 10 6 C

4 - 1 = 10 6 C → 10 6 C = 3

C = 3 × 10 - 6   F

C = 3 μ F

Agora podemos descobrir, também, L , usando a frequência de ressonância:

L C = 4 × 10 - 8

Portanto:

L = 4 × 10 - 8 C = 4 × 10 - 8 3 × 10 - 6

L = 0,013333   H

Resposta

a )

I M = 5 2   A

V R = 50 2   V

V C = 100 2   V

V L = 50 2   V

ϕ = - 45 °

b )

O diagrama é capacitivo.

c )

R = 100   Ω

C = 3 μ F

L = 0,013333   H

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