Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

Circuito CA

Um circuito de corrente alternada é constituído de uma indutância de 10,0   m H em série com uma resistência de 3,77   Ω e alimentados por uma fonte de 141   V - 60   H z .

a ) Qual o fator de potência do circuito;

b ) Qual deve ser a capacidade de um capacitor que colocado em série com o circuito tornaria este fator de potência unitário?

c ) De quando aumenta percentualmente a corrente no circuito com a introdução deste capacitor?

d ) Qual a tensão no capacitor em função do tempo?

e ) Qual a tensão medida por um voltímetro C.A. ligado no capacitor? E no indutor?

Passo 1

a ) Qual o fator de potência do circuito;

O fator de potência do circuito é dado por:

F P = cos ⁡ ϕ = R Z = R R 2 + X L - X C 2  

Como, a princípio, temos somente o resistor e o indutor:

F P = R R 2 + X L 2 = R R 2 + 2 π f L 2  

Onde L = 10   m H = 10 - 2   H .

F P = 3,77 3,77 2 + 2 π × 60 × 10 - 2 2

F P = 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Qual deve ser a capacidade de um capacitor que colocado em série com o circuito tornaria este fator de potência unitário?

Em um circuito R L C em série, o fator de potência é dado por:

cos ⁡ ϕ = R R 2 + X L - X C 2

Para que cos ⁡ ϕ = 1 :

X L - X C = 0

X L = X C

Obs.: Quando X L = X C , acontece um fenômeno chamado ressonância.

ω L = 1 ω C

C = 1 ω 2 L = 1 2 π f 2 L

Onde f = 60   H z e L = 10   m H = 10 - 2   H .

C = 1 2 π × 60 2 × 10 - 2

C ≅ 7,0 × 10 - 4   F

C = 0,7   m F

Passo 3

c ) De quando aumenta percentualmente a corrente no circuito com a introdução deste capacitor?

  • Sem capacitor:
  • Quando o circuito não tinha o capacitor, a corrente era dada por:

    I C = 0 = ε m Z C = 0

    Onde:

    Z C = 0 = R 2 + X L 2 = R 2 + 2 π f L 2

    Substituindo os valores:

    Z C = 0 = 5,33   Ω

    I C = 0 = ε m 5,33

    Eu até poderia substituir ε m aqui e fazer a conta, mas como vamos dividir uma corrente pela outra, os valores de ε m permanecem constantes, então vão se cortar eventualmente.

  • Com capacitor:

Agora com o capacitor:

I = ε m Z

Com esse capacitor, em particular:

Z = R 2 + X L - X C 2

X L = X C

Z = R

Z = 3,77   Ω

I = ε m 3,77

Portando, fazendo a razão entre as duas correntes:

I I C = 0 = ε m 3,77 ε m 5,33 = 1,41

Assim, o aumento percentual foi de 41 % .

Passo 4

d ) Qual a tensão no capacitor em função do tempo?

A tensão no capacitor é dada por:

V C = q t C

Como sabemos que o circuito é de corrente alternada e que a corrente, então, será do tipo I t = I 0 sen ⁡ ω t , podemos dizer que a tensão no capacitor, então, será dada por:

V C = I 0 C ∫ sen ⁡ ω t d t

Onde I 0 = ε m / R . Logo:

V C = - ε m ω R C cos ⁡ ω t

Substituindo os valores:

V 0 = ε m ω R C = 141 / 2 2 π × 60 × 3,77 × 7,0 × 10 - 4

V 0 = 100 V

ω = 2 π × 60 = 120 π

Finalmente:

V C = - 100 cos ⁡ 120 π t

Passo 5

e ) Qual a tensão medida por um voltímetro C.A. ligado no capacitor? E no indutor?

Como X L = X C , a tensões medidas tanto no indutor quanto no capacitor serão:

V L = V C = 100   V

Resposta

a )

F P = 2 2

b )

C = 0,7   m F

c )

41 %

d )

V C = - 100 cos ⁡ 120 π t

e )

V L = V C = 100   V

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